Giáo trình kế toán máy

MISA thông báo nâng cấp phần mềm và cập nhật Giáo trình kế toán máy...

Xem tiếp...

Kỳ nghỉ mát hè 2019 của cán bộ giảng viên Nhà trường

Căn cứ Thông báo số 12/TB-CVA ngày 05/5/2019 của Ban Giám hiệu Trường Đại học Chu Văn An về "Lịch nghỉ hè năm 2019 - đợt 1"; Thực hiện ý kiến chỉ đạo của Đảng bộ Trường Trường Đại học Chu Văn An về vệc tổ chức nghỉ mát hè 2019, Ban chấp hành Công đoàn Trường Đại học Chu Văn An tổ chức kỳ nghỉ mát hè 2019 tại Khu biệt thự nghỉ dưỡng FLC Sầm Sơn - Thanh Hóa từ ngày...

Xem tiếp...

Đề Toán phân loại cao, thí sinh dễ kiếm điểm trên trung bình

Thí sinh cả nước vừa hoàn thành buổi thi môn Toán, kỳ thi THPT quốc gia 2019. Nhiều thí sinh nhận định đề phân loại cao, dễ lấy điểm trên trung bình. Sáng mai, những thí sinh chọn bài thi tổ hợp Khoa học tự nhiên sẽ làm bài thi 3 môn Vật lí, Hóa học và Sinh học....

Xem tiếp...

Giới thiệu khoa kiến trúc

Khoa kiến trúc đại học Chu Văn An được thành lập từ 2006. Luôn luôn có thành tích tốt trong công tác dạy và học....

Xem tiếp...

Thông báo Lịch thi sát hạch chuẩn đầu ra

Trường Đại học Chu Văn An trân trọng thông báo về việc thi sát hạch chuẩn đầu ra môn Tiếng Anh và Tin học đối với sinh viên tốt nghiệp Trường Đại học Chu Văn An như sau:...

Xem tiếp...

Thông báo nộp học phí Hệ chính quy học kỳ I năm học 2015-2016

Trường Đại học Chu Văn An trân trọng thông báo về việc nộp học phí chính quy học kỳ I năm học 2015-2016 như sau:...

Xem tiếp...

Thời khóa biểu học kỳ I , năm học 2015-2016

Trường Đại học Chu Văn An trân trọng thông báo thời khóa biểu học kỳ I, năm học 2015-2016 như sau:...

Xem tiếp...

Thông báo lịch thi sát hạch chuẩn đầu ra năm 2015 (đợt 2)

Trường Đại học Chu Văn An trân trọng thông báo lịch thi sát hạch chuẩn đầu ra môn Tiếng Anh và Tin học đối với sinh viên tốt nghiệp Trường Đại học Chu Văn An như sau:...

Xem tiếp...

Hướng dẫn quy trình bảo vệ luận văn thạc sĩ Quản trị kinh doanh khóa 1

Viện Đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Chu Văn An thông báo hướng dẫn quy trình bảo vệ luận văn thạc sĩ Quản trị kinh doanh khóa 1 như sau:...

Xem tiếp...

Bộ GDĐT xác nhận Đề án của Trường Đại học Chu Văn An

Bộ Giáo dục và Đào tạo Xác nhận đề án của Trường gửi kèm theo công văn số 46/CV/GH-CVA, ngày 15 tháng 4 năm 2015 đã đáp ứng được các yêu cầu quy định tại Quy chế tuyển sinh đại học cao đẳng hệ chính quy hiện hành...

Xem tiếp...
  • Album Chùm ảnh Lễ Khai giảng Đại học Chu Văn An
  • Album Lễ dâng hương và trao bằng tốt nghiệp
  • Album Đêm văn nghệ hướng về miền Trung
  • Album Ảnh khởi công trường Đại học Chu Văn An
  • Album Chùm ảnh ngày hội Kiến trúc của sinh viên Kiến trúc Trường Đại học Chu Văn An
  • Album Chùm ảnh cuộc thi Micro vàng 2010 sinh viên Đại học Chu Văn An

Toán học kỳ thú và những mốc son lịch sử (P3)

Ngày đăng: 10/21/2013 2:21:04 PM Lượt xem: 2783

Toán học kỳ thú và những mốc son lịch sử

 122. Bài toán bốn màu là gì?

Khi tô màu bản đồ, những nước có chung đường biên giới được tô màu khác nhau để phân biệt chúng với nhau.

Kinh nghiệm thông thường là bốn màu là đủ để tô màu bản đồ, cho dù bản đồ đó gồm bao nhiêu nước và đường biên giới của chúng phức tạp như thế nào chăng nữa.

Nhưng để chứng minh thực tế bốn màu là đủ để tô màu bất kì bản đồ nào trên một mặt phẳng hay một mặt cầu là chuyện không đơn giản, và được gọi là bài toán bốn màu.

123. Ba màu là không đủ hay sao?

Thực tế dưới bốn màu là không đủ cho mọi trường hợp sẽ được làm rõ từ bản đồ gồm bốn nước dưới đây, trong đó mỗi nước đều tiếp giáp với ba nước kia.

bonmau.png

Một điều cũng đúng là không ai có thể tạo ra một bản đồ có yêu cầu tô nhiều hơn bốn màu.

124. Bài toán bốn màu đã được nêu ra như thế nào?

Nó lần đầu tiên được Mobius nêu ra dưới dạng một bài toán vào năm 1840. Một vài nhà toán học đã bắt tay vào giải, nhưng trong hơn một thế kỉ lời giải vẫn còn tránh né họ!

125. Cuối cùng thì ai chứng minh được nó?

Mãi đến năm 1976 thì Wolf Gang Haken và Kenneth Appel mới có thể chứng minh khẳng định trên, nhưng máy vi tính là một công cụ đắc lực trong chứng minh đó.

Chứng minh tốn vài trang giấy và hết sức khó.

126. Còn những bản đồ vẽ trên mặt vòng xuyến, tức là ống trụ phồng bên trong, thì sao?

Người ta chứng minh được rằng cần bảy màu để tô màu cho bất kì bản đồ nào vẽ trên một mặt vòng xuyến.

Điều này hàm ý rằng trên một mặt như thế, người ta có thể xây dựng các bản đồ gồm bảy vùng trong đó mỗi vùng tiếp giáp với sáu vùng kia!

127. Làm thế nào những khái niệm hình học lại có khả năng áp dụng cho những tình huống đa dạng như thế?

Toán học có được sức mạnh sáng tạo của nó từ trực giác, trong đó hình học là một nguồn phong phú – điều đó lí giải tại sao các khái niệm hình học có khả năng áp dụng cho nhiều tình huống đa dạng.

Ngoài ra, các phương pháp và khái niệm hình học vẫn giữ được lợi thế của chúng thậm chí ở dạng thức trừu tượng.

Hình học cung cấp các mô hình không chỉ của không gian vật lí mà còn của bất kì cấu trúc nào có khái niệm và đặc điểm khớp với khuôn khổ hình học.

128. Trở lại với Euclid! Tại sao Euclid lại tiên đề hóa hình học?

Trước Euclid, hình học chỉ là một tập hợp gồm những kết quả rời rạc không có liên quan gì với nhau.

Mục tiêu của Euclid vì thế là chọn một số lượng nhỏ những giả thiết ban đầu hay tiên đề từ cái mà lĩnh vực hình học đã biết cho đến thời đại của ông cũng như những sự thật hình học chưa được khám phá có thể được suy luận ra từ chúng.

Ông đã tiên đề hóa hình học để hoàn thành nhiệm vụ để đời này.

129. Tác phẩm của Euclid có hoàn hảo logic không?

Trong hơn hai nghìn năm trời, bộ “Cơ sở” của Euclid được xem là thành tựu toán học có địa vị cao nhất, nhưng vào thế kỉ mười chín thì tiêu chuẩn nghiêm khắc trong tư duy toán học đã phát triển lên trình độ cao hơn, và người ta bắt đầu tìm thấy những chỗ hỏng logic trong tác phẩm của Euclid.

Có nhiều chỗ trong đó các kết luận mà Euclid rút ra từ những giả thiết của ông không tuân theo riêng các quy luật logic.

130. Vì sao những chỗ hỏng logic này không được để ý tới trước đó?

Lí do những chỗ hỏng này đã không được các nhà toán học để ý thấy trong suốt một thời gian rất dài là vì các định lí của Euclid luôn có những hình vẽ đi kèm khiến các khẳng định là quá sức hiển nhiên nên chẳng có ai nghi ngờ và kiểm tra để xác nhận. Chính các hình vẽ đã lấp mất những chỗ hỏng logic đó.

Do đó, về sau người ta cảm thấy nên xây dựng hình học trên một hình thức chặt chẽ hơn, trong đó các chứng minh chỉ có giá trị ở dạng logic của chúng, tức là không liên hệ với cách hiểu bình thường của các khái niệm hình học nữa.

131. Phải làm gì để đạt được kết cục này?

Nhà toán học vĩ đại người Đức Hilbert đã tiến hành một khảo sát tiên đề hiện đại như thế của hình học Euclid.

Ông chỉ sử dụng ba thuật ngữ không được định nghĩa – điểm, đường thẳng và mặt phẳng, và sáu quan hệ không được định nghĩa – trên, trong, giữa, đồng dạng, song song và liên tục, và hai mươi mốt tiên đề.

Ông đã định nghĩa toàn bộ những khái niệm khác của hình học, ví dụ như góc, tam giác, đường tròn, vân vân, theo những thuật ngữ nguyên bản hay những khái niệm cơ bản này.

132. Phương pháp tiên đề Hilbert có phải là giải pháp duy nhất cho hình học Euclid không?

Không, có nhiều và có thể có nhiều phương pháp khác nữa. Ví dụ, sau Hilbert vài năm, Oswald Veblen đã đưa ra một cách tiên đề hóa khác chỉ sử dụng các thuật ngữ ‘điểm’, ‘ở giữa’ và ‘đồng dạng’ với một tập hợp các tiên đề hơi khác với của Hilbert.

Có một cách tiên đề hóa khác nữa của E.V. Huntington, ông chỉ sử dụng hai thuật ngữ ‘hình cầu’ và “bao gồm’ cùng với một tập hợp gồm những tiên để hiển nhiên là khác nữa.

133. Phương pháp tiên đề có thích hợp cho các nghiên cứu khác ngoài hình học hay không?

Tác động của phương pháp tiên đề của Euclid đối với các thế hệ nghiên cứu sau đó lớn đến mức nó đã trở thành một kiểu mẫu cho mọi chứng minh chặt chẽ trong toán học.

Vì thế, vào thế kỉ mười chín và đầu thế kỉ hai mươi, nhiều lĩnh vực nghiên cứu đã được phát triển theo hướng ít nhiều mang tính trực giác dựa trên cơ sở tiên đề.

134. Phương pháp tiên đề có thúc đẩy tư duy toán học hay không?

Không, phương pháp tiên đề có thể xem là một hoạt động toán học dựa trên những quan niệm tiền nhận thức, còn toán học là một hoạt động sáng tạo được phát triển độc lập với những quan niệm như thế, do đó phương pháp tiên đề không thể bộc lộ bản chất của tư duy toán học.

135. Vậy đâu là động cơ thúc đẩy việc tiên đề hóa những lĩnh vực khác?

Động cơ mạnh nhất thúc đẩy việc tiên đề hóa những lĩnh vực khác của toán học là khát vọng muốn thiết lập một số lượng nhỏ nhưng vừa đủ những giả thiết ban đầu từ đó tất cả những phát biểu đúng trong những lĩnh vực đó được suy luận ra.

Phương pháp tiên đề này ngày nay được chấp nhận triệt để đến mức một trong những đặc điểm nổi bật nhất của toán học thế kỉ hai mươi là sự vận dụng quy mô phương pháp tiên đề trong các nghiên cứu toán học.

136. Kết quả của sự vận dụng quy mô phương pháp tiên đề hóa này của toán học là gì?

Sự vận dụng rộng rãi này của sự trừu tượng của toán học đã mang lại một khó khăn lớn, đó là vấn đề nhất quán!

Vì một phương pháp tiên đề phải là nhất quán, nên phải có một cách khẳng định rằng một tập hợp những giả thiết đã cho làm cơ sở của hệ thống mới là nội nhất quán để cho không có định lí mâu thuẫn tương hỗ nào có thể được suy luận ra từ tập hợp đó.

Nếu các giả thiết nói về một miền đối tượng quen thuộc nào đó, thì luôn luôn có thể kiểm tra xem chúng có đúng hay không, nhưng trong trường hợp các giả thiết nói về một miền đối tượng mới mẻ và không quen thuộc, thì dường như chẳng có cách nào kiểm tra được tính nhất quán của chúng.

Để làm rõ, các hình học phi Euclid lúc chúng đang được phát triển đã từng bị xem là không biểu diễn bất kì sự thật nào cả.

Có vẻ chẳng có cách nào trả lời cho câu hỏi: Tập hợp các giả thiết Riemann có nhất quán không hay liệu nó sẽ không dẫn tới những định lí mâu thuẫn chứ?

137. Vấn đề nhất quán còn phát sinh ở đâu nữa?

Vấn đề nhất quán còn phát sinh hễ khi một mô hình phi hữu hạn được xét đến vì các mục đích lí giải.

Trong trường hợp các mô hình hữu hạn, tính nhất quán của tập hợp có thể được xác định bằng cách khảo biện hoặc liệt kê nhưng trong trường hợp các mô hình phi hữu hạn thì điều này là không thể.

Và đa số các hệ giả thiết cấu thành nền tảng của những ngành toán học quan trọng chỉ có thể được thỏa mãn bởi các mô hình phi hữu hạn.

138. Hilbert có thành công trong việc xác lập tính nhất quán của các giả thiết Euclid hay không?

Hilbert chọn cách lí giải các giả thiết Euclid theo kiểu được thông qua trong hình học tọa độ Descartes để chúng được biến đổi thành những chân lí đại số. Tính nhất quán của các giả thiết Euclid, do đó, được xác lập bằng cách chứng minh rằng chúng được thỏa mãn bởi một mô hình đại số.

Nhưng phương pháp xác lập tính nhất quán như thế này cho thấy nếu đại số là nhất quán, thì hệ thống hình học của Hilbert cũng nhất quán. Vì thế, chứng minh một hệ nào đó nhất quán chỉ là tương đối chứ không phải một chứng minh tuyệt đối.

139. Nên làm gì tiếp theo để tránh những chứng minh tương đối đó?

Để tránh những chứng minh tương đối của tính nhất quán, Hilbert đề xuất một phương pháp được gọi là siêu toán học. Phương pháp này trang bị tốt cho việc nghiên cứu tính nhất quán lẫn tính hoàn chỉnh.

Vì thế, Hilbert và những nhà toán học khác nuôi hi vọng phát triển mỗi ngành toán học bằng phương pháp tiên đề theo kiểu sao cho nó vừa nhất quán vừa hoàn chỉnh.

Và chương trình tối hậu là phát triển một khuôn khổ thống nhất cho toàn bộ toán học vừa nhất quán vừa hoàn chỉnh.

Chương trình này được gọi là “Chương trình Hilbert”.

140. Chương trình Hilbert đã thành công đến đâu?

Luận giải siêu toán học đã được triển khai thành công để xác lập tính nhất quán và hoàn thiện của những hệ bao quát hơn. Ví dụ, một chứng minh tuyệt đối của sự nhất quán đã tiến hành cho một hệ số học cho phép cộng các con số, nhưng không cho phép nhân.

Một vài nỗ lực như thế là tìm cách xây dựng một chứng minh cho phép nhân các con số, nhưng thật bất ngờ, toàn bộ những nỗ lực như thế đều thất bại.

Cuối cùng vào năm 1931, nhà toán học người Áo Kurt Gödel đã chứng minh rằng những nỗ lực như thế nhất thiết phải thất bại.

141. Gödel đã chứng minh điều gì? hay Những hạn chế của phương pháp tiên đề là gì?

Gödel chứng minh rằng phương pháp tiên đề có những hạn chế cố hữu nhất định về tính nhất quán và tính hoàn chỉnh.

Ông chứng minh rằng tính nhất quán không thể được xác lập trong một hệ gồm toàn số học.

Ông còn chứng minh rằng phương pháp tiên đề có một hạn chế cố hữu nữa, đó là không hoàn chỉnh. Cho trước một tập hợp nhất quán bất kì gồm những tiên đề số học, có những mệnh đề số học đúng không thể được suy luận ra từ tập hợp đó.

142. Có ví dụ nào minh họa cho kết luận này không?

Một ví dụ đơn giản, giả thiết Goldbach, minh họa cho điều vừa nói.

Giả thiết phát biểu rằng mọi con số chẵn (ngoại trừ 2, bản thân nó là số nguyên tố rồi) đều có thể được biểu diễn bằng tổng của hai số nguyên tố.

Như vậy,              

 

4=2+2,6=3+3,8=3+5

 

 

10=5+5,12=5+7,14=7+7

 

 

16=5+11,18=5+13,20=7+13

 

Tương tự:

 

50=19+31,100=3+97,200=3+197,...

 

Mặc dù người ta chẳng tìm thấy con số chẵn nào không bằng tổng của hai số nguyên tố, nhưng chưa có ai tìm ra cách chứng minh đúng cho mọi con số chẵn.

Giả thiết trên có vẻ là một mệnh đề đúng nhưng không thể được suy luận ra từ các tiên đề của số học.

143. Liệu một tập hợp tiên đề khác không giải quyết được sao?

Có lẽ nên đề xuất cải tiến hoặc mở rộng các tiên đề để cho định lí này và những định lí có liên quan khác có thể được suy luận ra. Nhưng cho dù chúng ta có bổ sung bất kì số lượng hữu hạn nào của các tiên đề số học, thì hệ thống đã mở rộng đó vẫn không đủ để mang lại mọi chân lí số học.

Sẽ luôn luôn có những chân lí số học khác nữa sẽ không được suy luận ra từ tập hợp đã mở rộng đó. Như vậy, phương pháp tiên đề căn bản là không hoàn chỉnh.

Gödel còn chứng minh rằng đối với những hệ thuộc loại quan trọng nhất, tính nhất quán là không tương thích với tính hoàn chỉnh. Những hệ như thế, nếu nhất quán, thì nhất thiết phải không hoàn chỉnh.

Đồng thời, nếu một hệ là hoàn chỉnh (ví dụ, một hệ chỉ cho phép cộng mà không nhân các con số), nó có thể được chứng minh là không nhất quán.

144. Cái cốt lõi của khám phá của Gödel là gì?

Cái cốt lõi của khám phá của Gödel là không có hệ thống logic nào vừa nhất quán vừa hoàn chỉnh có thể được người ta nghĩ ra.

Trước khi có khám phá này, các nhà toán học đã ấp ủ hi vọng phát triển một cơ sở toán học nhất quán được bao gộp trọn vẹn trong một hệ thống tiên đề.

Khám phá của Gödel đã đặt dấu chấm hết cho một hi vọng như thế.

Như vậy, cái Gödel đã làm với logic học vào năm 1931 chính là cái Heisenberg* đã làm với vật lí học bởi nguyên lí bất định nổi tiếng của ông trước đó bốn năm, vào năm 1927.

145. Hàm ý của khám phá trên là gì?

Hàm ý là sự mất bình yên bởi vì khám phá trên làm suy yếu niềm tin rằng chân lí toán học là chính xác và hoàn hảo.

Đây là vì chân lí toán học có được sức mạnh của nó từ sự tương tác của các tiên đề gọi là các chứng minh, nhưng khi bản thân phương pháp tiên đề, cái trụ cột cho những chứng minh như thế, chịu sự thẩm tra và ngờ vực, thì bức tranh rõ ràng chuyển sang sắc thái kém tin cậy và ảm đạm.

-----

*Nguyên lí bất định của Heisenberg hàm ý rằng tác dụng quan sát trên một hạ sơ cấp làm nhiễu loạn nó theo một kiểu không dự đoán được. Nguyên lí này thiết lập giới hạn cho sức mạnh của phương pháp thực nghiệm.

146. Chủ nghĩa hình thức Hilbert có nghĩa là gì?

Sự tiên đề hóa các hệ thống toán học đưa đến quan điểm rằng toán học được xem là một trò chơi thuần túy với những nước đi thuần túy trên giấy tuân theo những quy tắc rõ ràng nhất định. Trò chơi và các nước đi đó được xem là không có ý nghĩa hay cách hiểu gì cả.

Vì thế, các hệ thống được hình thức hóa theo nghĩa này và kết cục là chủ nghĩa hình thức Hilbert.

147. Ưu điểm của chủ nghĩa hình thức này là gì?

Ưu điểm của việc xem những hệ thống toán học là những hệ hình thức là nhờ đó người ta thoát khỏi nhiều câu hỏi rắc rối và không cần thiết, nếu không thì chúng là câu hỏi căn bản và không dễ gì bác bỏ triệt để.

148. Những câu hỏi đó là gì?

Để sáng tỏ, hãy xét những câu hỏi sau đây:

Các con số là gì?

Các con số có tồn tại không?

Làm thế nào chúng ta biết được các quy tắc của các con số là đúng?

Những câu hỏi này khác như vậy là những câu hỏi quan trọng, nhưng trong một hệ hình thức hóa thì chúng trở nên không cần thiết và phải rời khỏi cuộc chơi.

Các công thức của hệ, khi đó, có ý nghĩa bất kì, chúng không đúng cũng chẳng sai, và không đưa ra khẳng định nào về sự tồn tại của bất cứ cái gì.

149. Gödel chứng minh kết quả của ông như thế nào?

Gödel đánh số các kí hiệu, các công thức, và các chuỗi công thức, tức là các chứng minh trong chủ nghĩa hình thức Hilbert theo một kiểu nhất định gọi là đánh số Gödel, và từ đó biến đổi mọi khẳng định thành những mệnh đề toán học.

Phương pháp của ông gồm một tập hợp những quy tắc tạo ra một tương ứng một-một giữa các số nguyên và những kí hiệu đa dạng hoặc các tổ hợp kí hiệu. Khi đó ông có thể chứng minh rằng tính nhất quán của số học là không thể quyết định được bởi bất kì lập luận nào thuộc chủ nghĩa hình thức của số học.

Để tiếp tục chứng minh thật sự, người ta phải quán triệt trước bốn mươi sáu định nghĩa sơ bộ và một vài bổ đề quan trọng.

Chứng minh đó là khó và lập luận quá phức tạp để một người không chuyên toán có thể theo dõi.

150. Nghiên cứu của Gödel chỉ có ý nghĩa tiêu cực thôi hay sao?

Không.

Công trình của Gödel đưa ra một kĩ thuật phân tích mới trong các nền tảng của toán học và làm phát sinh một ngành toán học rất quan trọng, đó là Lí thuyết Chứng minh.

Kĩ thuật thật sự đã đánh thức sự hoạt động sôi nổi trong ngành logic toán và kết cục của nó khó mà nói trước được.

Công trình của Gödel thật ra đã khích lệ, chứ không làm thoái chí sự sáng tạo toán học.

151. Bài học do khám phá to lớn này mang lại là gì?

Khám phá để đời này làm sáng tỏ những hạn chế cố hữu của phương pháp suy luận. Nó thường được xem là một trong những thành tựu trí tuệ vĩ đại nhất của thế kỉ hai mươi.

Tuy nhiên, nó không nhất thiết gây ra sự chán nản hay tuyệt vọng.

Nó chỉ hàm ý rằng những phương pháp nghiên cứu sâu sắc hơn và phức tạp hơn vẫn chưa được nghĩ ra, vì luận giải sáng tạo thừa nhận không có hạn chế.

152. Vậy phương pháp tiên đề có bị từ bỏ hay không?

Không, còn lâu người ta mới bỏ. Trái lại, nó được công nhận là một kiểu mẫu biểu thị khuôn khổ logic được chấp nhận của bất kì mô hình toán học nào.

Thật vậy, kết quả của Gödel không dính líu gì đến công việc hằng ngày của chúng ta, nó không gây đe dọa cho cả nền toán học đang được sử dụng hằng ngày và ở mọi nơi.

153. Việc chấp nhận phương pháp tiên đề có công dụng gì khi mà một hệ nhất quán thì không thể hoàn chỉnh?

Đúng là với một số lượng đáng kể các phân ngành toán học, chúng ta không thể có những hệ hoàn chỉnh mà chỉ có những hệ không hoàn chỉnh được chúng ta khai sáng thêm. Ưu điểm là nó mang đến nhiều thành quả.

Tính không hoàn chỉnh của hệ không gây ngăn trở đối với công dụng của nó.

154. Vì sao phương pháp tiên đề được sử dụng rộng rãi như thế khi mà nó có những hạn chế cố hữu?

Phương pháp tiên đề và những hạn chế của nó là một bộ phận của những nền tảng toán học, còn việc nó được sử dụng rộng rãi là do sự áp dụng mang đến nhiều thành quả của nó.

Vì thế, lời khuyên là nên phân biệt giữa toán học và các ứng dụng của toán học.

Ví dụ, một hệ thống toán học mà chúng ta gọi là hình học không nhất thiết là một mô tả của không gian thực tế. Việc khẳng định một loại hình học nhất định là một mô tả của một không gian vật lí là một phát biểu vật lí, chứ không phải một phát biểu toán học.

Do đó, trong những ứng dụng rộng rãi của toán học, người ta không phải quan tâm về sự tồn tại toán học và các khái niệm toán học, chúng thật sự thuộc về miền đất nền tảng của toán học.

155. Cái gì là thích đáng cho các ứng dụng của toán học?

Cái thích đáng hay quan trọng cho các ứng dụng là các tiên đề và các khái niệm của một hệ thống toán học phải ăn khớp với các phát biểu về các đối tượng có thật và phải có thể xác nhận những phát biểu đó trên phương diện vật lí.

Kết quả của Gödel chẳng có liên quan gì đến các ứng dụng của toán học. Nó là kết quả của một nghiên cứu có chiều sâu về những nền tảng của toán học nói chung và sự tồn tại toán học nói riêng.

156. Tồn tại toán học có ý nghĩa chính xác là gì?

Chúng ta đã thấy các điểm và các đường thẳng của hình học là các trừu tượng của các đối tượng vật lí của chúng và không nhất thiết tương đồng với chúng.

Tương tự như vậy, các thực thể toán học không nhất thiết phải liên hệ gần gũi với các vật thể của thế giới vật chất.

Điều này cho thấy tồn tại toán học khác với tồn tại vật lí như thế nào.

Trong các ứng dụng của toán học, nếu mô hình vật lí khớp với mô hình toán học, thì các kết quả toán học có thể được tận dụng, nhưng sự tương ứng hoàn toàn giữa hai bên là không nhất thiết.

Các ứng dụng có liên quan với tồn tại vật lí nhưng các mô hình toán học thì chỉ quan tâm đến tồn tại toán học.

157. Tập hợp gồm những tiên đề nào là đủ cho đại số ở trường phổ thông?

Đại số ở nhà trường chủ yếu xử lí các con số. Tính chất của những con số và các toán tử thường gặp trên chúng có thể được phát triển từ tập hợp gồm những tiên đề sau đây:

1. Với hai con số bất kì, tổng của chúng được xác định duy nhất.

2. Với hai con số bất kì, tích của chúng được xác định duy nhất.

3. Tồn tại một số 0 có tính chất a+0=a.

4. Với mỗi số a, tồn tại một số x sao cho a+x=0.

5. Phép cộng có tính giao hoán, tức là a+b=b+a.

6. Phép cộng có tính kết hợp, tức là a+(b+c)=(a+b)+c.

7. Phép nhân có tính giao hoán, tức là ab=ba.

8. Phép nhân có tính kết hợp, tức là a(bc)=(ab)c.

9. Phép nhân có tính phân phối, tức là a(b+c)=ab+ac;(b+c)a=ba+ca.

10. Với mỗi số a và b khác không, tồn tại một số x duy nhất sao cho bx=a.

Bất kì hệ đại lượng nào thỏa mãn mười điều kiện này được gọi là một trường.

Các ví dụ của trường là tập hợp số hữu tỉ, tập hợp số thực, và tập hợp số phức.

Trong mỗi trường hợp này, khi cộng và nhân các số thuộc tập hợp cho ta một con số cũng thuộc tập hợp đó, và các toán tử thỏa mãn mười điều kiện trên.

Ngoài những ví dụ này, có nhiều đại lượng khác của tự nhiên cũng tạo thành một trường. Các phân thức đại số, chẳng hạn, cũng tuân theo mười điều kiện này và vì thế tạo thành một trường.

158. Các hệ thống tiên đề mới được tạo ra như thế nào?

Có thể thu được những hệ thống tiên đề mới bằng cách loại trừ một hoặc nhiều tiên đề của một hệ thống đã cho.

Ví dụ, bằng cách bỏ đi tiên đề 7, chúng ta có một hệ tuân theo đại số ma trận, trong đó tích của hai ma trận phụ thuộc vào trật tự chúng được đem nhân.

Cũng có thể thu được những hệ thống tiên đề mới từ một hệ đã cho bằng cách thay đổi một hoặc nhiều tiên đề của nó theo một kiểu thích hợp.

Sự ra đời của một hệ tiên đề cho hình học phi Euclid từ các tiên đề của hình học Euclid, bằng cách thay thế tiên đề hai đường song song bởi một trong những phủ nhận của nó, là một ví dụ cho cách thu về một hệ thống tiên đề mới theo kiểu này.

Hết phần 1: Hình học và các loại hình học

Phần 2: Đại số và Các loại đại số

1. Hình học đã được phát triển ở hình thức tiên đề, còn Số học và Đại số thì không. Tại sao vậy?

Nguyên nhân nằm ở nguồn gốc của chúng.

Hình học đã được phát triển bởi người Ai Cập, là kết quả đo đạc đất đai của họ. Vào thế kỉ thứ 7 trước Công nguyên, hình học đã lan truyền từ Ai Cập sang Hi Lạp, nơi nó dần dần phát triển thành một lí thuyết toán học.

Như vậy, hình học là một lí thuyết toán học có nguồn gốc Hi Lạp. Người Hi Lạp đã gắn giá trị lớn cho các chứng minh và vì thế đã phát triển hình học theo hướng tiên đề.

Toán học của những con số của chúng ta có nguồn gốc của nó thuộc về toán học của người Hindu, người Arab và người Babylon.

Họ không quan tâm đến việc đưa ra các chứng minh nên toán học của những con số đã được truyền lại cho chúng ta đơn thuần ở dạng một tập hợp những quy tắc tính toán không liên quan với nhau mấy.

Xu hướng hiện đại là trình bày tất cả các nghiên cứu toán học theo hình thức tiên đề.

2. Ý nghĩa của từ “arithmetic” là gì?

Từ “arithmetic” (sự tính/số học) có nghĩa là “nghệ thuật tính toán” nên bài học ở trường tiểu học của chúng ta là một tập hợp gồm những lời giải của những bài toán đa dạng và các quy tắc tính toán.

Nhưng theo thời gian arithmetic đã biến thành lí thuyết của những con số.

3. Số học là một trừu tượng phải không?

Số học thể hiện những nỗ lực sớm nhất của trí tuệ con người đối với sự trừu tượng.

Như vậy, khi chúng ta nói, 2+3=5, đó là một phát biểu không phải nói về những vật đặc biệt như cái bút chì hay đồng xu, mà về tất cả những vật có thể đếm được vẫn giữ được nhận dạng riêng của chúng.

Ở đây, bản chất của các vật, tức là chúng là cái bút chì hay đồng xu hay cây cối hay bất kì cái gì khác, dù sống hay không sống, vân vân... không còn liên quan nữa, và phát biểu thành ra đúng theo một kiểu chung chung.

Các con số được đặt tên (một, hai, ba,...) và kí hiệu (1,2,3,...) và được sử dụng như những vật cụ thể bền bỉ đến mức chúng ta có xu hướng quên mất rằng chúng ta đang giải quyết các khái niệm chứ không phải các vật cụ thể.

4. Phát biểu 2+3=5 có đúng cho mọi loại vật hay không?

Không. Nếu các vật không giữ được nhận dạng riêng của chúng, thì phát biểu trên có thể không đúng đối với chúng.

Ví dụ, thêm 2 giọt nước vào 3 giọt nước có thể chỉ tạo ra một giọt nước – một giọt nước lớn.

Tương tự, nếu nhốt 2 con hổ và 3 con thỏ chung một chuồng, thì sau một lúc nào đó có thể ta thấy chỉ còn hai con vật thôi – hai con hổ sẽ ăn thịt 3 con thỏ cùng đường mạt lộ kia.

Một ví dụ nữa, một lực bằng 2 đơn vị và một lực khác bằng 3 đơn vị, hai lực cùng tác dụng vào một vật có thể cho hợp lực bằng bất kì giá trị nào nằm giữa 1 và 5 đơn vị lực tùy thuộc vào góc giữa chúng.

Nếu chúng tác dụng ngược chiều nhau, thì tổng của chúng sẽ bằng một đơn vị, còn nếu chúng tác dụng cùng chiều nhau, thì tổng của chúng sẽ bằng 5 đơn vị.

Tuy nhiên, tổng của chúng sẽ bằng 4 đơn vị nếu góc giữa chúng bằng 75,5o.

5. Sự mở rộng khái niệm số có nghĩa là gì?

Những con số đầu tiên gắn liền với những vật cụ thể nên khái niệm số ban đầu hạn chế với chỉ những con số nguyên. Các phân số xuất hiện tự nhiên sau đó và sự ra đời của một kí hiệu cho số không là một sự kiện lớn, còn các số âm được thừa nhận lại là một sự miễn cưỡng lớn.

Những con số như thế gộp chung lại được gọi là số hữu tỉ.

Một lần nữa sự mở rộng này bắt đầu, và đến lượt số vô tỉ và số phức được công nhận.

Một số vô tỉ là con số không thể biểu diễn được bằng thương của hai số nguyên. Ví dụ, 2 là một số vô tỉ.

Số vô tỉ và số hữu tỉ được gọi chung là số thực.

Một số phức là một con số bất kì có dạng a+bi, trong đó a và b là số thực, và i là kí hiệu cho căn bậc hai của trừ một, tức là i2 =1.

6. Các số siêu việt là gì?

Những số vô tỉ không bằng căn bậc hai của bất kì phương trình đại số nào được gọi là số siêu việt.

e và πlà những số như thế.

 

e=2,71828...;π=3,14159...

 

các dấu chấm ở cuối có nghĩa là chuỗi số không có kết thúc mà kéo dài đến vô tận.

Về các số siêu việt, có một kết quả thú vị do Gelfond chứng minh vào năm 1934 là αβ là siêu việt nếu α là đại lượng đại số khác 0 và khác 1, và β là đại lượng đại số và không phải số hữu tỉ. Như vậy, 23,32,53 là những số siêu việt. Nhưng nếu α và β đều là siêu việt thì không biết αβ có siêu việt hay không. Ví dụ, người ta không rõ ee,ππ hoặc πe có là siêu việt hay không.

Tuy nhiên, eiπ =1 là một kết quả rất đẹp.

7. Vì sao đại số được gọi là số học khái quát hóa?

Một ví dụ sẽ làm sáng tỏ.

Ở nhà trường, trẻ em được học rằng nếu lấy bình phương của một con số trừ cho 1, thì nó bằng tích của số liền trước và số liền sau con số đó.

Như vậy:

 

42 1=(4+1)(41).

 

 

52 1=(5+1)(51)

 

 

62 1=(6+1)(61).

 

Rõ ràng mệnh đề trên là đúng nếu ở chỗ 4,5 hoặc 6, ta thay vào con số bất kì nào khác.

Nếu đưa một kí hiệu mới, ví dụ như x, để biểu diễn một con số bất kì và là một con số không có gì đặc biệt hết, thì mệnh đề trên có thể được viết khái quát như sau

 

x2 1=(x+1)(x1).

 

Việc đưa thêm vào kí hiệu x là sự khởi đầu của đại số.

8. Sức mạnh của đại số nằm ở đâu?

Đại số có được phần lớn sức mạnh của nó từ việc xử lí bằng kí hiệu với các phần tử, các toán tử và các liên hệ.

Các kí hiệu x,y,z,... được dùng làm các phần tử, phép cộng và phép nhân chủ yếu được dùng làm toán tử, và dấu bằng là liên hệ bình thường kết nối các phần tử.

Như vậy x+x=2x và x+y=y+x

cho dù x và y biểu diễn con số nào.

9. Đại số có được khái quát hóa không?

Kí hiệu x, dùng để biểu diễn con số bất kì, có tiềm năng giả định lớn. Trước tiên, nó mang đến các phương trình đại số, cái thống lĩnh địa hạt nghiên cứu lâu đến mức trong khoảng một thế kỉ rưỡi, đại số chỉ là lí thuyết của các phương trình.

Sau này x không chỉ hạn chế là những con số mà nó còn được sử dụng để biểu diễn bất kì thực thể nào khác, và các dấu toán tử cho phép cộng và phép nhân đã được phép mang lại những ý nghĩa mới tùy thuộc vào loại thực thể đang được xét đến.

Vì thế, thực thể xác định ý nghĩa gắn liền với dấu + và ×.

Các vector và ma trận là hai ví dụ quen thuộc của những thực thể như thế. Chúng sẽ được nói tới ở phần sau.

Đây là hình ảnh khái quát hóa của cái đại số ban đầu đại diện.

10. Nó khác như thế nào với hình thức ban đầu của đại số?

 

Trong đại số sơ cấp, các chữ cái kí hiệu cho những con số bình thường, và các dấu toán tử, ví dụ + và × kí hiệu cho phép cộng và phép nhân bình thường. Nhưng ở hình thức khái quát hóa, các chữ cái kí hiệu cho thực thể bất kì nào đó, và dấu của toán tử là bất kì quy tắc kết hợp nào có liên quan đến thực thể.

 

website why do women cheat on husbands married cheaters
why people cheat in marriage click reasons why women cheat
go read here i dreamed my husband cheated on me
my boyfriend cheated on me with my mom what makes husbands cheat
my boyfriend cheated on me quotes women that cheat with married men open
reasons married men cheat why do women cheat on husbands open
unfaithful wives infidelity married cheaters
why women cheat on husbands why wifes cheat how to cheat wife
why do guys cheat do all women cheat married and want to cheat
women who cheat on husband developerstalk.com women who cheat on husbands
I cheated on my boyfriend megaedd.com wifes that cheat
married men who cheat site how to cheat on my husband
married men who cheat site how to cheat on my husband
marriage affairs marcandela.com cheater
why women cheat on men open married men cheat with men
will my wife cheat again how to spot a cheater why do wife cheat
wifes who cheat site women love to cheat
sex with mom stories astrobix.com preteens having sex stories
reasons wives cheat on husbands married cheaters wife cheated on me
women cheat because women that cheat on their husbands meet to cheat
free prescription cards walgreens coupons for prints photo walgreens coupon code
free prescription drug discount card rite aid beauty coupons online pharmacy coupons
discount card pharmacy blog.kartones.net promo codes for walgreens
coupons rx inspiringmoreminds.com printable free coupons
coupons rx inspiringmoreminds.com printable free coupons
walgreens new prescription coupon photo coupon code walgreens pharmacy discount code
walgreens new prescription coupon photo coupon code walgreens pharmacy discount code
wives who cheat my boyfriend cheated on me quotes why wifes cheat
husband cheated women who cheat on men women cheat because
husband cheated fangstoptimering.dk women cheat because
should abortion be legal should abortion be legal vacuum suction abortion
spy a phone xn--sorpendlerklub-sqb.dk free app android
should abortion be legal should abortion be legal vacuum suction abortion
cvs promo code link free prescription discount card
tracking apps android spy mobile app free text spy app for android
spyware cell phone blog.bjorback.com vehicle tracking device
abortion clinics orlando dilatation & curettage abortion at 5 weeks
cell phone spy app blog.bjorback.com how to find a location of a cell phone
drug prescription card cvs promo code photo cvs 20 off coupon
free prescription cards site discount card prescription
walgreens coupon code photos click walgreens new prescription coupon
coupons for cialis carp-fishing.nl free printable cialis coupons
discount coupons for prescription drugs free viagra coupon rx discounts
albuterol (salbutamol) charamin.com albuterol (salbutamol)
thyroxine 100mcg go levitra 40mg
levaquin 250mg vibramycin 100mg deltasone 10mg
prescription card f6finserve.com prescription discount coupon
discount prescription card mikemaloney.net coupon for free cialis
levitra 40mg open lasix 40mg
viagra discount coupons drug coupons prescription coupons
drug discount coupons blog.plazacutlery.com prescription drugs discount cards
viagra coupon blog.alpacanation.com viagra manufacturer coupon
viagra coupon blog.alpacanation.com viagra manufacturer coupon
can i take cefdinir with amoxicillin read can i take cefdinir with amoxicillin
can i take nortriptyline every other night canitake.net can i take nortriptyline every other night
can i take nortriptyline every other night can i take nortriptyline every other night can i take nortriptyline every other night
lisinopril and clindamycin lisinopril and clindamycin lisinopril and clindamycin
lisinopril and clindamycin lisinopril and clindamycin lisinopril and clindamycin
lisinopril and clindamycin lisinopril and clindamycin lisinopril and clindamycin
is there a generic for bystolic bystolic coupon mckesson bystolic card
cialis coupon card free prescription drug cards canada drug pharmacy coupon
how to get the abortion pill open abortion pill cost
facts on abortion atlanta abortion clinics partial birth abortions
drug coupons link coupons for prescription medications
abortion at 12 weeks click abortion side effects
doxycycline doxycycline doxycycline
doxycycline doxycycline doxycycline
amoxicillin amoxicillin amoxicillin
amoxicillin amoxicillin amoxicillin
metformin metformin metformin
metformin metformin metformin
progesterone progesterone progesterone
lisinopril lisinopril lisinopril
cialis coupon cialis coupon cialis coupon
sumatriptan overdose sumatriptan overdose sumatriptan overdose
discount card for prescription drugs free cialis coupons 2015 cialis coupon
acheter viagra en ligne europe http://acheterviagraenfrance.com/en/ligne-europe acheter viagra en ligne europe
acheter viagra belgique sans ordonnance acheter viagra belgique sans ordonnance acheter viagra belgique sans ordonnance
online viagra bestellen viagra pillen kruidvat viagra online forum
to buy viagra viagra for sale uk side effects of viagra use
buy viagra on line viagra for sale uk common side effects of viagra
buy viagra on line viagra for sale uk common side effects of viagra
cialis manufacturer coupon 2016 crmsociety.com discount coupon for cialis
drug coupon card read free prescription discount cards
discount coupon for cialis eblogin.com free cialis coupons
cialis coupons and discounts eblogin.com free prescription cards discount
prescription coupons site cialis coupons and discounts
lilly coupons for cialis site new prescription coupon
kamagra gold kamagra 100 kamagra vélemények
ibuprofen fieber ibuprofen wirkung ibuprofen nebenwirkungen
augmentin et grossesse arbot.cz augmentin et alcool
aerius nebenwirkungen blog.martinhey.de aerius heuschnupfen
aerius nebenwirkungen blog.martinhey.de aerius heuschnupfen
amoxil 500 read amoxil wiki
motilium eureka read motilium eureka
kamagra bestellen read kamagra 100mg
imodium para que serve go imodium 2mg
amoxicillin allergy boomasontennis.com amoxicillin and sun
drug coupon link drug coupons
lilly coupons for cialis click copay cards for prescription drugs
lilly coupons for cialis click copay cards for prescription drugs
vivitrol cost http://naltrexonealcoholismmedication.com/ naltrexone hcl
mildin recept mildin 50 mildin 20 mg
mildin recept mildin tabletter mildin 20 mg

Tin tức cùng nhóm khác

Tin tuyển sinh

Thông báo tuyển sinh 2015 Ðịa điểm nhận hồ sơ: Phòng Đào tạo Trường Đại học Chu Văn An, khu đô thị đại học Phố Hiến, đường Tô Hiệu, phường Hiến Nam, TP Hưng Yên, Hưng Yên, điện thoại liên hệ (0321).3515592 – 3.515587. Phòng Ðào tạo Trường...

Quảng cáo

Quảng cáo