Giới thiệu khoa kiến trúc

Khoa kiến trúc đại học Chu Văn An được thành lập từ 2006. Luôn luôn có thành tích tốt trong công tác dạy và học....

Xem tiếp...

Thông báo Lịch thi sát hạch chuẩn đầu ra

Trường Đại học Chu Văn An trân trọng thông báo về việc thi sát hạch chuẩn đầu ra môn Tiếng Anh và Tin học đối với sinh viên tốt nghiệp Trường Đại học Chu Văn An như sau:...

Xem tiếp...

Thông báo nộp học phí Hệ chính quy học kỳ I năm học 2015-2016

Trường Đại học Chu Văn An trân trọng thông báo về việc nộp học phí chính quy học kỳ I năm học 2015-2016 như sau:...

Xem tiếp...

Thời khóa biểu học kỳ I , năm học 2015-2016

Trường Đại học Chu Văn An trân trọng thông báo thời khóa biểu học kỳ I, năm học 2015-2016 như sau:...

Xem tiếp...

Thông báo lịch thi sát hạch chuẩn đầu ra năm 2015 (đợt 2)

Trường Đại học Chu Văn An trân trọng thông báo lịch thi sát hạch chuẩn đầu ra môn Tiếng Anh và Tin học đối với sinh viên tốt nghiệp Trường Đại học Chu Văn An như sau:...

Xem tiếp...

Hướng dẫn quy trình bảo vệ luận văn thạc sĩ Quản trị kinh doanh khóa 1

Viện Đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Chu Văn An thông báo hướng dẫn quy trình bảo vệ luận văn thạc sĩ Quản trị kinh doanh khóa 1 như sau:...

Xem tiếp...

Bộ GDĐT xác nhận Đề án của Trường Đại học Chu Văn An

Bộ Giáo dục và Đào tạo Xác nhận đề án của Trường gửi kèm theo công văn số 46/CV/GH-CVA, ngày 15 tháng 4 năm 2015 đã đáp ứng được các yêu cầu quy định tại Quy chế tuyển sinh đại học cao đẳng hệ chính quy hiện hành...

Xem tiếp...

Mẫu HS Bảo vệ luận văn Thạc sĩ

Viện Đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Chu Văn An trân trọng thông báo Mẫu hồ sơ bảo vệ luận văn thạc sĩ như sau:...

Xem tiếp...

Thông báo nộp học phí

Căn cứ Thông báo số: 52/TB-GH-CVA ngày 23/6/2014 của Ban Giám hiệu Trường Đại học Chu Văn An về Kế hoạch đào tạo năm học 2014 - 2015;Căn cứ vào Thông báo về mức thu học phí đối với Hệ Chính quy đang theo học tại trường. Nhà trường thông báo lịch nộp học phí kỳ II năm học 2014-2015 như sau: ...

Xem tiếp...

Thông báo tuyển sinh đào tạo thạc sĩ năm 2015 - đợt 1

Nhà trường thông báo kế hoạch tuyển sinh cao học ngành Quản trị kinh doanh, Quản lý kinh tế đợt 1 năm 2015 như sau:...

Xem tiếp...
  • Album Chùm ảnh Lễ Khai giảng Đại học Chu Văn An
  • Album Lễ dâng hương và trao bằng tốt nghiệp
  • Album Đêm văn nghệ hướng về miền Trung
  • Album Ảnh khởi công trường Đại học Chu Văn An
  • Album Chùm ảnh ngày hội Kiến trúc của sinh viên Kiến trúc Trường Đại học Chu Văn An
  • Album Chùm ảnh cuộc thi Micro vàng 2010 sinh viên Đại học Chu Văn An

Để hiểu hơn về quy nạp toán học

Ngày đăng: 9/7/2013 8:12:58 AM Lượt xem: 5395

Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp hay và rất hữu dụng. Tuy nhiên, đối với học sinh khối 11 thì đây là nội dung khó hiểu và khó áp dụng. Bài viết này của tôi sẽ giúp các bạn một hướng để hiểu hơn về phương pháp này.

 

1. Tại sao phải dùng phương pháp quy nạp toán học?

Giả sử có 1mệnh đề chứa biến số tự nhiên. Ta cần chứng minh mệnh đề đó. Tại sao phải dùng phương pháp quy nạp toán học? Để trả lời câu hỏi này, ta xét các bài toán sau:

Bài toán 1Thầy giáo kiểm tra bài cũ lớp 11A4 (có 35 học sinh), thầy gọi theo sổ điểm lần lượt các bạn:

  1. Triệu Thị Băng
  2. Lê Văn Bách
  3. Triệu Thị Điềm
  4. Đàm Văn Hanh
  5. Dương Thị Hường.

Cả 5 bạn ấy đều chưa học bài. Thầy kết luận: “Cả lớp 11A4 chưa học bài”. Thầy kết luận như vậy có hợp lí không? Nếu không làm thế nào để có kết luận đúng.


Lời giải. Thầy kết luận như vậy là chưa hợp lí vì có thể các bạn từ số thứ tự 6 đến số thứ tự 35 đều học bài, tức là đa phần cả lớp học bài. Để thu được kết luận đúng, thầy cần kiểm tra cả lớp (bằng cách kiểm tra 15 phút chẳng hạn).


Bài toán 2Người ta kiểm tra trên một quần thể ruồi giấm thấy thế hệ đầu tiên có tính trạng mắt đỏ. Kết luận: “Tất cả ruồi giấm ở mọi thế hệ của quần thể này đều mắt đỏ”. Kết luận như vậy có đúng không? Nếu không làm thế nào để có kết luận đúng?

Lời giải. Kết luận như vậy chưa chắc đúng vì chưa kiểm tra xem các thế hệ khác có mắt đỏ không? Ta không thể làm như bài toán 1 vì số lượng ruồi giấm và các thế hệ của quẩn thể là vô số, việc kiểm tra từng cá thể của từng thế hệ là không thể thực hiện được. Để thu được kết luận đúng, ta làm như sau:

  • Kiểm tra với thế hệ thứ nhất (đời F1);
  • Chứng minh sự di truyền của tính trạng mắt đỏ. Tức là chứng minh rằng nếu đời bố mẹ mắt đỏ thì đời con mắt đỏ. Khi đó, chắc chắn tất cả các cá thể ở mọi thế hệ đều mắt đỏ vì thế hệ trước sẽ di truyền lại cho thế hệ sau.


Bài toán 3. Với n  N, chứng minh rằng 

1+2+...+n=n(n+1)2,   ().



Phân tích.
 
Rõ ràng ta không thể áp dụng cách làm của bài toán 1 cho bài này vì tập các số tự nhiên là vô hạn. Việc kiểm tra tính đúng đắn của () với từng số tự nhiên sẽ mất nhiều thời gian và không thể hoàn thành được.

Ta nhận thấy có nét giống nhau giữa tập các số tự nhiên và quần thể ruồi giấm. Tập số tự nhiên có vô hạn phần tử, quần thể ruồi giấm có vô hạn thế hệ. Ta sẽ áp dụng cách làm của bài toán 2 đối với bài toán này.

Coi mệnh đề () là một "tính trạng" của "quần thể" các số tự nhiên. Để chứng minh mọi số tự nhiên đều có "tính trạng ()" ta làm như sau:

 

  • Kiểm tra "tính trạng ()" với "thế hệ đầu (F1)n=1
  • Chứng minh sự “di truyền” của () Tức là chứng minh rằng nếu số n=k có "tính trạng ()" thì n=k+1cũng có "tính trạng ()".

Phương pháp chứng minh như vậy gọi là phương pháp quy nạp toán học. Bạn cũng có thể hiểu phương pháp quy nạp giống như trò chơi Đôminô của người Nhật.
 

2. Phương pháp và ví dụ


Để chứng minh 1 mệnh đề A đúng với mọi số nguyên dương bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện 2 bước:

  1. (Bước "khởi tạo") Kiểm tra tính đúng đăn của A với n=1
  2. (Bước "di truyền") Giả sử mệnh đề A đã đúng đến n=k1, ta chứng minh A cũng đúng với n=k+1.


Ta sẽ giải Bài toán 3 như sau:


Bước 1. Với n=1, ta có 

VT()=1=1(1+1)2=VP().

 
Vậy () đúng với n=1.
Bước 2. Giả sử () đã đúng đến n=k1, tức là 

1+2+...+k=k(k+1)2,   (a).
 
Ta cần chứng minh rằng () cũng đúng với n=k+1, tức là phải chứng minh 
1+2+...+(k+1)=(k+1)(k+2)2,   (b).

Thật vậy:
VT(b)=1+2+...+(k+1)=1+2+...+k+(k+1)=VT(a)+(k+1)
=VP(a)+(k+1)=k(k+1)2+(k+1)=(k+1)(k+2)2=VP(b)
Ta có điều phải chứng minh.

 

Nhận xét. Học sinh lớp 11 thường bị vướng khi chứng minh (b). Các em thường không biết bắt đầu từ đâu. Quan sát lời giải bài toán 3, ta thấy lời giải được tiến hành theo logic sau:

VT(b)(1)VT(a)(2)VP(a)(3)VP(b)

 

Dấu mũi tên (1), ta sử dụng giả thiết hoặc những phép toán, định nghĩa cơ bản đã học.
Dấu mũi tên (2), ta sử dụng giả thiết quy nạp, tức là dùng (a)
Dấu mũi tên (3), ta thường phải biến đổi, ước lượng.


Xin đưa ra thêm một số ví dụ.


Ví dụ 1. Với mọi nN ta có: 2n>n,    (1).
Lời giải. 
Bước 1. Với n=1, ta có: VT=2,VP=1, Vậy (1) đúng.
Bước 2. Giả sử (1) đúng với n=k1, tức là 

2k>k,    (1a)



Ta chứng minh rằng (1) cũng đúng với n=k+1. Tức là phải chứng minh 

2k+1>k+1,    (1b)
.

 

Thật vậy, ta có VT(1b)=2k+1=2.2k=2VT(1a)>2VP(1a)=2kk+1=VP(1b) (đpcm).
Vậy (1) đúng với mọi n nguyên dương.
 

Ví dụ 2. Cho dãy số (un) xác định bởi 

u1=13un+1=(n+1)un3n,n1


Chứng minh rằng 

un=n3n,n1,    (2)

 

Lời giải. 

* Với n=1 ta có VT(2)=u1=13;VP(2)=13. Vậy (2) đúng với n=1.

* Giả sử (2) đúng với n=k1, tức là 

uk=k3k,    (2a)

 

Ta chứng minh rằng (2) cũng đúng với n=k+1. Tức là phải chứng minh 

uk+1=k+13k+1,    (2b)

 

Thật vậy, ta có:

uk+1=(k+1)uk3k=(k+1)k3k.3k=k+13k+1=VP(2b)(đpcm)


Vậy (2) đúng với mọi n nguyên dương.

 



3. Bài tập


Mời các bạn cùng làm thêm các bài tập dưới đây:


Bài tập 1. Chứng minh BĐT Bernoulli:

(1+a)n1+na,nN

 


Bài tập 2. Chứng minh rằng 

(11n+1+122n1)133,nN

.trong phần này tôi sẽ giới thiệu với các bạn một cách xác định công thức bằng phương pháp phán đoán quy nạp.

- Đối tượng áp dụng phương pháp này có thể kể đến, như các bài toán đếm, xác định công thức tổng quát của dãy số, ...

- Nội dung phương pháp gồm 3 bước

 

Bước 1: Thống kê, Xem xét

- Xác định biến quy nạp (theo n, hay m, hay k, ...)

- Đưa bài toán về các trường hợp ban đầu, hoặc trường hợp đặc biệt đơn giản nhất (n=0,1,...)

- Tính toán và xác định kết quả

- Tập hợp các kết quả thu được

 

Bước 2: Phán đoán công thức

- Dựa trên các kết quả thu được, phán đoán được quy luật xác định, nếu chưa phán đoán được ta sẽ quay lại bước 1

 

Bước 3: Chứng minh công thức phán đoán bằng quy nạp

- Công thức đã thỏa với một số trường hợp ban đầu (đã xét ở bước 1)

- Giả sử công thức đúng với (biến đếm tới) i

- Chứng minh công thức cũng đúng với i+1

- KẾT LUẬN.

 

Ta hãy xét một ví dụ tiêu biểu sau:

Bài toán 1:

Với k1,k2,p1,p2,nN. Tính:

 

Sn=0k1+k2nCp1k1+p11Cp2k2+p21(1)

 

Lời giải:

NX: Có khá nhiều cách giải quyết bài toán này (đặc biệt là phương pháp đếm bằng 2 cách), tuy nhiên ở đây ta không xét đến.

Ta viết lại tổng (1) dưới dạng:

 

Sn=k=0nk1+k2=kCp1k1+p11Cp2k2+p21

 

Ta xem xét riêng tổng Tk=k1+k2=kCp1k1+p11Cp2k2+p21(2)

Để tính được tổng (2), ta đi từ những trường hợp riêng:

* TH1: k=0k1=k2=0T0=Cp1p11Cp2p21=0

* TH2: k=1(k1=0;k2=1) ho(k1=1;k2=0)T1=Cp1p11Cp2p2+Cp1p1Cp2p21=0

Tính tiếp ...

* TH3: k=2(k1,k2){(0,2);(1,1);(2,0)}

 

T2=Cp1p11Cp2p2+1+Cp1p1Cp2p2+Cp1p1+1Cp2p21=1

 

* TH4: k=3(k1,k2){(0,3);(1,2);(2,1);(3,0)}

 

T3=Cp1p11Cp2p2+2+Cp1p1Cp2p2+1+Cp1p1+1Cp2p2+Cp1p1+2Cp2p21T3=p1+p2+2

 

* TH5: k=4 ... tương tự ta tính được:

 

T4=Cp1p1+2+Cp1p1+1Cp2p2+1+Cp2p2+2=(p1+p2+3)(p1+p2+2)2

 

Qua các trường hợp tính được ở trên, ta có thể tự tin dự đoán rằng:

 

Tk=k1+k2=kCp1k1+p11Cp2k2+p21=Cp1+p2+1p1+p2+k1(3)

 

Việc tiếp theo ta sẽ chứng minh (3) bằng quy nạp

- Rõ ràng (3) đúng với k=0,1,2,3,4 giả sử đúng đến k, xét với k+1, ta có

 

Tk+1=k1+k2=k+1Cp1k1+p11Cp2k2+p21

 

Tk+1=k1=0k+1Cp1k1+p11Cp2kk1+p2 (Thay k2=k+1k1)

Tk+1=k1=0kCp1k1+p11Cp2kk1+p2 (Do số hạng cuối bằng 0)

Đặt k2=kk1 (tức là k1+k2=k), ta có:

 

Tk+1=k1+k2=kCp1k1+p11Cp2k2+p2