Giới thiệu khoa kiến trúc

Khoa kiến trúc đại học Chu Văn An được thành lập từ 2006. Luôn luôn có thành tích tốt trong công tác dạy và học....

Xem tiếp...

Thông báo Lịch thi sát hạch chuẩn đầu ra

Trường Đại học Chu Văn An trân trọng thông báo về việc thi sát hạch chuẩn đầu ra môn Tiếng Anh và Tin học đối với sinh viên tốt nghiệp Trường Đại học Chu Văn An như sau:...

Xem tiếp...

Thông báo nộp học phí Hệ chính quy học kỳ I năm học 2015-2016

Trường Đại học Chu Văn An trân trọng thông báo về việc nộp học phí chính quy học kỳ I năm học 2015-2016 như sau:...

Xem tiếp...

Thời khóa biểu học kỳ I , năm học 2015-2016

Trường Đại học Chu Văn An trân trọng thông báo thời khóa biểu học kỳ I, năm học 2015-2016 như sau:...

Xem tiếp...

Thông báo lịch thi sát hạch chuẩn đầu ra năm 2015 (đợt 2)

Trường Đại học Chu Văn An trân trọng thông báo lịch thi sát hạch chuẩn đầu ra môn Tiếng Anh và Tin học đối với sinh viên tốt nghiệp Trường Đại học Chu Văn An như sau:...

Xem tiếp...

Hướng dẫn quy trình bảo vệ luận văn thạc sĩ Quản trị kinh doanh khóa 1

Viện Đào tạo Sau đại học - Trường Đại học Chu Văn An thông báo hướng dẫn quy trình bảo vệ luận văn thạc sĩ Quản trị kinh doanh khóa 1 như sau:...

Xem tiếp...

Bộ GDĐT xác nhận Đề án của Trường Đại học Chu Văn An

Bộ Giáo dục và Đào tạo Xác nhận đề án của Trường gửi kèm theo công văn số 46/CV/GH-CVA, ngày 15 tháng 4 năm 2015 đã đáp ứng được các yêu cầu quy định tại Quy chế tuyển sinh đại học cao đẳng hệ chính quy hiện hành...

Xem tiếp...

Mẫu HS Bảo vệ luận văn Thạc sĩ

Viện Đào tạo Sau Đại học - Trường Đại học Chu Văn An trân trọng thông báo Mẫu hồ sơ bảo vệ luận văn thạc sĩ như sau:...

Xem tiếp...

Thông báo nộp học phí

Căn cứ Thông báo số: 52/TB-GH-CVA ngày 23/6/2014 của Ban Giám hiệu Trường Đại học Chu Văn An về Kế hoạch đào tạo năm học 2014 - 2015;Căn cứ vào Thông báo về mức thu học phí đối với Hệ Chính quy đang theo học tại trường. Nhà trường thông báo lịch nộp học phí kỳ II năm học 2014-2015 như sau: ...

Xem tiếp...

Thông báo tuyển sinh đào tạo thạc sĩ năm 2015 - đợt 1

Nhà trường thông báo kế hoạch tuyển sinh cao học ngành Quản trị kinh doanh, Quản lý kinh tế đợt 1 năm 2015 như sau:...

Xem tiếp...
  • Album Chùm ảnh Lễ Khai giảng Đại học Chu Văn An
  • Album Lễ dâng hương và trao bằng tốt nghiệp
  • Album Đêm văn nghệ hướng về miền Trung
  • Album Ảnh khởi công trường Đại học Chu Văn An
  • Album Chùm ảnh ngày hội Kiến trúc của sinh viên Kiến trúc Trường Đại học Chu Văn An
  • Album Chùm ảnh cuộc thi Micro vàng 2010 sinh viên Đại học Chu Văn An

Toán học - Những điều kỳ thú và những mốc son lịch sử (P1)

Ngày đăng: 8/29/2013 9:20:44 AM Lượt xem: 3265

Toán học có rất nhiều điều kỳ thú, càng khám phá càng thấy nhiều điều mới lạ, hấp dẫn!

 Thứ ba, 06 Tháng 8 2013 07:34

 

Hình học và các loại hình học

1. Có bao nhiêu loại hình học?

Chủ yếu gồm ba loại. Nhưng có thể có vài loại.

2. Ba loại vừa nói là ba loại nào?

Hình học Euclid, hình học Lobachewski, và hình học Riemann.

3. Có cái gì đặc biệt khiến chúng khác nhau à?

Vâng. Trong hinh học Euclid, tổng số đo ba góc của một tam giác luôn bằng 180o, nhưng trong hình học Lobachewski nó luôn nhỏ hơn 180o, còn trong hình học Riemann nó luôn lớn hơn 180o.

4. Vậy thì ba loại đó liên tục mâu thuẫn với nhau rồi!

Không, chúng đồng thời tồn tại trong không khí khá hòa bình.

5. Hinh học Euclid là gì?

Hình học dạy ở nhà trường trong đó các hình vẽ và sơ đồ được vẽ trên một tờ giấy hoặc một bảng đen bình thường được gọi là hình học Euclid để tôn vinh nhà toán học Euclid.

Ông sinh sống vào khoảng năm 300 trước Công nguyên ở Syria nhưng có gốc gác Hi Lạp.

6. Euclid đã có đóng góp gì cho Hình học?

Ông đã tổng hợp toàn bộ kiến thức hình học tích lũy cho đến thời đại của ông thành một dạng có hệ thống và logic và biên soạn nó thành 13 tập sách được đặt tên là “Các nguyên tố”.

Ông đã phát triển hình học là một cấu trúc logic.

7. Một cấu trúc logic là gì?

Trong một cấu trúc logic, một vài thuật ngữ và một vài tiền đề không chứng minh được giả định, và toàn bộ phần còn lại được phát triển dựa trên logic.

Những thuật ngữ không định nghĩa được gọi là những khái niệm căn bản, và những tiền đề không chứng minh được gọi là “sự thật nửa-hiển nhiên”, tiên đề, giả thuyết, hay đơn giản là giả thiết.

8. Làm thế nào những thuật ngữ không định nghĩa và những tiền đề không chứng minh lại có chỗ đứng trong một cấu trúc logic?

Trong bất kì một nghiên cứu có hệ thống nào, cái tự nhiên được trông đợi là chúng ta định nghĩa tỉ mỉ toàn bộ những thuật ngữ của chúng ta sao cho chúng ta biết mình đang nói về cái gì. Nhưng mỗi thuật ngữ phải được định nghĩa bằng cái gì đó đã được định nghĩa trước đó, và chính thuật ngữ này lại phải được định nghĩa, và cứ thế; cho nên hành trình đi ngược dòng này phải dừng lại ở đâu đó. Vì thế, có một vài thuật ngữ không định nghĩa được xem là hiển nhiên và với chúng định nghĩa là không cần thiết.

Tương tự, để chứng minh một định lí là đúng, ta cần chỉ ra rằng nó tuân theo một tiền đề nào đó đã được chứng minh trước đó, và chính tiền đề này hóa ra lại cần phải chứng minh, và cứ thế. Hành trình lần ngược này một lần nữa phải dừng lại ở đâu đó nên có một số tiền đề được chấp nhận là đúng và đối với chúng chứng minh là không cần thiết.

9. Phải chăng những tiền đề không chứng minh hay giả thuyết không chịu ràng buộc nào cả?

Chúng chịu hai ràng buộc quan trọng. Thứ nhất là các giả thuyết phải nhất quán. Điều này có nghĩa là các phát biểu mâu thuẫn sẽ không được gợi đến bởi những giả thuyết. Chúng phải không dẫn tới “A là B” và “A không phải là B”.

Thứ hai là các giả thuyết phải hoàn chỉnh. Điều này có nghĩa là mỗi định lí của hệ thống logic phải được suy ra từ các giả thuyết.

10. Có bất kì ràng buộc nào khác nữa không?

Cái hợp lí là các giả thuyết là độc lập. Nghĩa là không có giả thuyết nào được suy luận ra từ giả thuyết khác.

Đây là cái đáng khao khát cho lí giải kinh tế học và cái đẹp nhưng nội hàm của một giả thuyết không độc lập không làm vô hiệu hệ thống. Việc phát hiện một giả thuyết như thế đôi khi chẳng dễ dàng gì.

Và, tất nhiên, các giả thuyết phải đơn giản và không chứa quá nhiều con số; nếu không hệ thống logic được phát triển sẽ không có lợi gì nhiều.

11. Phải chăng các giả thuyết không cần phù hợp với kinh nghiệm hằng ngày?

Các giả thuyết không nhất thiết phù hợp với kinh nghiệm hằng ngày, bởi vì phát triển một cấu trúc trên nền tảng của những giả định mới và chắc chắn chỉ có thể đưa đến những khám phá mới tinh và những tiến bộ quan trọng.

Những giả định cực kì chắc chắn đó đã đưa đến khám phá ra những hình học khác ngoài hình học Euclid trong trường hợp rồi chúng ta sẽ thấy.

12. Các giả thuyết được sử dụng như thế nào và dẫn tới cái gì?

Một vài giả định hoặc quy tắc được nêu ra lúc bắt đầu là bình thường và không thể tránh khỏi nên không thể nào dự đoán hết những hệ quả của chúng. Từ đây, các quy tắc được vạch ra phải ăn khớp và từ đó xâu chuỗi, cứ thế cho đến khi đi tới kết quả cuối cùng, và nó thường là bất ngờ.

Người ta cảm thấy có động lực mạnh mẽ để xét lại chuỗi ý tưởng nhưng như thế chỉ khẳng định lại kết quả cuối cùng mà thôi!

 13. Những khái niệm căn bản của hình học Euclid là gì?

 Trong hình học Euclid, điểm và đường là những khái niệm căn bản. Một điểm được nói là không có độ lớn, và một đường thì không có bề rộng.

 Nhưng đây là những mô tả gợi mở chứ không phải những định nghĩa toán học.

 14. Các điểm và đường trong hình học khác như thế nào với các đối tác vật chất của chúng?

 Khái niệm điểm là một đối tượng rất nhỏ có hiện thân vật chất là một chấm bút chì. Một đường thẳng tự hiện thân ở một sợi chỉ bị kéo căng hoặc một tia sáng.

 Điểm và đường trong hình học là cái trừu tượng từ chấm bút chì và đường kẻ bút chì trong kinh nghiệm hằng ngày.

 15. Công dụng của sự trừu tượng ấy là gì?

 Ưu điểm từ những trừu tượng như thế là các điểm và các đường trong hình học có những tính chất đơn giản hơn nhiều so với các chấm và các đường vật chất. Ví dụ, hai chấm bút chì đủ to có thể được nối lại bởi nhiều đường kẻ bút chì, nhưng nếu hai cái chấm có kích cỡ càng lúc càng nhỏ, thì toàn bộ các đường kẻ trông hầu như giống hệt nhau và chúng ta chẳng gặp khó khăn gì trong việc nhận thức tiên đề hình học rằng có một và chỉ một đường thẳng có thể được vẽ giữa hai điểm bất kì.

 16. Các giả thiết của hình học Euclid là gì?

 Các giả thiết của Euclid như sau:

 

  1. Qua hai điểm bất kì, luôn luôn vẽ được một đường thẳng.
  2. Đường thẳng có thể kéo dài vô hạn.
  3. Với tâm bất kì và bán kính bất kì, luôn luôn vẽ được một đường tròn.
  4. Mọi góc vuông đều bằng nhau.
  5. Nếu hai đường thẳng tạo thành với một đường thẳng thứ ba hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn 180 độ thì chúng sẽ cắt nhau về phía đó.

 17. Các tiên đề của hình học Euclid là gì?

 Các tiên đề của Euclid như sau:

  1. Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau.
  2. Thêm những cái bằng nhau vào những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
  3. Bớt đi những cái bằng nhau từ những cái bằng nhau thì được những cái bằng nhau.
  4. Trùng nhau thì bằng nhau.
  5. Toàn thể lớn hơn một phần.

18. Tiên đề khác với giả thiết như thế nào?

 Các tác giả hiện đại thường không nhớ sự phân biệt của Euclid giữa tiên đề và giả thiết, họ sử dụng những tên gọi này nhầm lẫn và gọi chúng là những giả thiết căn bản.

 19. Euclid thu được gì từ một tập hợp nhỏ gồm những giả thiết căn bản như thế?

 Chỉ sử dụng vài giả thiết căn bản này, Euclid đã chứng minh hàng trăm định lí, nhiều trong số chúng nổi tiếng, và đi đến xếp thứ tự các định lí.

 Khái niệm chứng minh, cái cấu thành tinh thần căn bản của toán học, do Euclid nêu ra.

 Vì các chứng minh phải được thực hiện hoàn toàn trong khuôn khổ các giả thiết, cho nên sự chọn lựa những giả thiết căn bản của Euclid thật sự là đáng nể và là thành tựu của thiên tài.

 20. Định đề hai đường song song là gì?

 Giả thiết thứ năm của Euclid đã nói ở trên được gọi là định đề hai đường song song. Một dạng tương đương của định đề trên là như sau:

 Qua một điểm cho trước nằm ngoài một đường thẳng cho trước, ta vẽ được một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

 

 

21. Hình học Lobachewsky là gì?

Định đề vừa nói ở trên có vẻ quá hiển nhiên nên người ta chưa từng nghĩ nó có thể hoặc có lẽ nên thay đổi. Nhưng một vài nhà toán học, Lobachewsky là một trong số đó, đã nghĩ tới cái xảy ra khi định đề trên được thay thế bởi định đề sau đây:

Qua một điểm cho trước nằm ngoài một đường thẳng cho trước, có thể vẽ hai đường thẳng khác nhau cùng song song với đường thẳng đã cho.

Chúng ta có thể vẽ một hình như sau, trong đó hai đường thẳng tách biệt được vẽ qua điểm P, một hướng sang trái và một hướng sang phải.

Các nhà toán học tìm thấy rằng giả thiết lạ lẫm này không những không mang lại sai lầm gì mà một hệ quả logic của giả thiết mới còn đưa họ đến với một bộ môn hình học mới trong đó tổng số đo ba góc của một tam giác nhỏ hơn 180 độ.

22. Nó chẳng phải là một giả thiết lạ hay sao?

Nói cho hợp lí thì chẳng có gì sai khi giả sử người ta có quyền tự do lựa chọn những giả thiết căn bản bất kì miễn là chúng không mâu thuẫn nhau.

23. Nhưng hai đường thẳng trong hình vẽ ở trên trông không có vẻ gì song song với đường thẳng đã cho!

Nguyên nhân hai đường thẳng trong hình vẽ ở trên, một hướng sang phải và một hướng sang trái, không có vẻ song song với đường thẳng đã cho là vì hình được vẽ trong một mặt phẳng bình thường, nơi chỉ có hình học Euclid đúng còn hình học mới thì không!

24. Còn có ai khác đi tới quan điểm mới trên?

Ba nhà toán học khác nhau, Gauss người Đức, Bolyai người Hungary và Lobachewsky người Nga đã khám phá ra bộ môn hình học phù hợp logic này khá độc lập nhau, và gần như đồng thời, khoảng năm 1826.

25. Vậy tại sao lại gọi là hình học Lobachewsky?

Gauss, nhà toán học nổi tiếng nhất thời ấy, không dám mạo hiểm với những quan niệm mới này vì sợ ảnh hưởng đến danh tiếng của ông.

Bolyai thì dũng cảm xông pha, nhưng ông đã không phát triển những khái niệm mới sâu sắc và trọn vẹn như Lobachewsky.

Lobachewsky là người đầu tiên giới thiệu các khái niệm một cách rộng rãi, và còn phát triển chúng sau đó trong một số bài báo. Vì thế, bộ môn hình học mới được gọi là hình học Lobachewsky.

26. Hình học Riemann là gì?

Riemann, một nhà toán học người Đức, vào khoảng năm 1854, đã nghĩ tới việc thay thế định đề hai đường song song bằng định đề sau đây:

Qua một điểm cho trước không thuộc một đường thẳng cho trước, không vẽ được đường thẳng nào song song với đường thẳng đã cho.

Một hệ quả logic của giả thiết này đưa ông đến với một bộ môn hình học trong đó tổng ba góc của một tam giác lớn hơn 180 độ.

Bộ môn hình học này được gọi là hình học Riemann.

27. Những định lí nào đúng trong cả ba bộ môn hình học?

Những định lí hình học Euclid không phụ thuộc vào định đề hai đường song song thì vẫn không thay đổi. Ví dụ, các định lí sau đây là đúng trong cả ba bộ môn hình học:

(i)                  Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.

(ii)                Hai góc đáy của một tam giác cân thì bằng nhau.

28. Đâu là chỗ khác nhau giữa ba bộ môn hình học?

So sánh dưới đây nêu rõ những chỗ khác biệt.

Trong hình học Euclid:

(i)                  Tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180 độ.

(ii)                Hai đường thẳng song song thì không bao giờ gặp nhau, cho dù có kéo dài ra bao xa, và luôn luôn cách nhau một khoảng không đổi.

(iii)               Hai tam giác có thể có ba góc bằng nhau nhưng diện tích khác nhau. Hai tam giác như vậy được gọi là tam giác đồng dạng, và tam giác này là hình phóng to của tam giác kia.

(iv)              Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ vẽ được một đường vuông góc với đường thẳng đó.

(v)                Tỉ số của chu vi của một đường tròn và đường kính của nó bằng p.

Trong hình học Lobachewsky:

(i)                  Tổng ba góc của một tam giác luôn nhỏ hơn 180o, và lượng nhỏ hơn tỉ lệ với diện tích của tam giác.

(ii)                Hai đường thẳng song song thì không bao giờ gặp nhau, nhưng khoảng cách giữa chúng nhỏ dần đi khi kéo dài chúng ra xa.

(iii)               Chỉ hai tam giác bằng nhau về diện tích mới có ba góc bằng nhau, cho nên hai tam giác có diện tích khác nhau không bao giờ có thể đồng dạng. Trong bộ môn hình học này, khi một tam giác tăng diện tích, thì tổng số đo ba góc của nó giảm.

(iv)              Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ vẽ được một đường vuông góc với đường thẳng đó giống như trong hình học Euclid.

(v)                Tỉ số của chu vi của một đường tròn và đường kính của nó luôn lớn hơn p, và tỉ số đó càng lớn khi diện tích vòng tròn càng lớn.

Trong hình học Riemann:

(i)                  Tổng ba góc của một tam giác luôn lớn hơn 180o.

(ii)                Mỗi cặp đường thẳng nằm trong một mặt phẳng phải cắt nhau.

(iii)               Tam giác càng lớn thì góc càng lớn.

(iv)              Có thể vẽ vô số đường vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng cho trước.

(v)                Tỉ số của chu vi của một đường tròn và đường kính của nó luôn nhỏ hơn p, và giảm khi diện tích của vòng tròn tăng.

29. Bộ môn hình học nào đúng?

Mỗi bộ môn hình học đều đúng nhưng chỉ trên những mặt mà nó có nghĩa thôi.

Hình học Euclid áp dụng cho những hình vẽ trên một tờ giấy hoặc trên một mặt phẳng.

Hình học phi Euclid của Riemann rất gần đúng cho những hình vẽ trên bề mặt của một hình cầu.

Hình học phi Euclid của Lobachewsky đúng cho những hình vẽ trên một mặt gọi là giả cầu. Xem bên dưới:

Mặt giả cầu là mặt tròn xoay thu được bằng cách quay đường cong gọi là tractrix xung quanh trục thẳng đứng Oy.

Các tam giác vẽ trên những mặt khác nhau được thể hiện trong hình bên dưới:

Mỗi môn hình học hoạt động tốt trên mặt tương ứng của nó.

30. Vì một môn hình học được sáng tạo chỉ dựa trên hệ thống tiên đề của nó, vậy đâu là khả năng phụ thuộc của nó vào thế giới vật chất?

Đặc điểm của không gian vật lí của chúng ta được xác định chính xác bởi hình học Euclid nên trong hơn 2000 năm áp dụng nó luôn được xem là chân lí tuyệt đối về không gian vật lí.

Chỉ đến khi khám phá ra các môn hình học phi Euclid người ta mới nhận ra rằng hình học không phải là chân lí về không gian vật lí. Nó chỉ là một nghiên cứu của những không gian có thể có.

Những môn hình học khác nhau, được xác định bởi những hệ tiên đề khác nhau, do đó, không phải là những mô tả của thực tại.

Chúng đơn thuần là những mô hình mà thôi.

Từ quan điểm này, một cái khá may mắn là mô hình Euclid mô tả thực tại khá đầy đủ.

31. Vậy một định lí toán học thì có ý nghĩa gì?

Một định lí toán học về căn bản là một xác nhận có điều kiện.

Nó chỉ đúng nếu tập hợp các giả thiết từ đó suy ra nó là đúng.

Nhưng còn chuyện tập hợp các giả thiết đó là đúng hay sai thì định lí không xác nhận.

32. Tại sao? Nguyên nhân là gì?

Nguyên nhân là vì các giả thiết được lập theo các khái niệm, nói đại khái chúng không có ý nghĩa đặc biệt nào, cho nên các giả thiết là đúng hay sai không thể xác nhận được.

33. Phải chăng hình học Euclid không mâu thuẫn với các hình học phi Euclid?

Đúng vậy. Vì một mặt phẳng có độ cong bằng không, nên nếu thay số không vào giá trị của độ cong trong các công thức của các hình học phi Euclid, thì các công thức thu được giống hệt với các công thức của hình học Euclid.

Vì vậy, hình học Euclid có thể xem là một trường hợp đặc biệt của các hình học phi Euclid, chúng vốn khái quát hơn.

34. Một đường thẳng có ý nghĩa gì?

Một cái hiện ra ngay trong đầu là các đường thẳng trên một mặt cầu hay mặt giả cầu thật ra là bị cong và có vẻ không thích hợp gọi chúng là thẳng.

Nhưng tất cả tùy thuộc vào cách chúng ta định nghĩa một đường thẳng.

Một cách định nghĩa một đường thẳng là nhận ra nó là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm.

35. Định nghĩa này làm đơn giản vấn đề như thế nào?

Bây giờ khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm trên bề mặt của một hình cầu không phải là một đường thẳng mà là một đoạn của đường tròn nằm trên bề mặt của hình cầu đó.

Một đường tròn như vậy được gọi là “đường tròn lớn” và tâm của nó nằm tại tâm của hình cầu.*

* Nếu hai điểm nằm trên bề mặt của hình cầu được nối lại với sự hỗ trợ của một cái thước đâm xuyên qua hình cầu, thì đường thẳng thu được sẽ không còn nằm trên bề mặt của hình cầu nữa.

Nhưng vì đường thẳng đó phải nằm trên bề mặt, nên nó phải đi theo “đường tròn lớn”.

Một đường tròn lớn chia hình cầu thành hai phần bằng nhau. Đường xích đạo là một đường tròn lớn, nhưng các đường vĩ tuyến thì không phải. Một đường kinh tuyến là nửa đường tròn lớn.

Khái quát hóa khái niệm này, đường cong nằm trên một bề mặt và là khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm trên bề mặt đó được gọi là “đường trắc đạc” trên bề mặt đó.

Trên mặt phẳng thì đường trắc đạc là đường thẳng.

36. Đường trắc đạc trên những mặt khác nhau có khác nhau không?

Vâng, đường trắc đạc khác nhau tùy theo mặt nhất định.

Đường trắc đạc trên mặt phẳng thì hướng theo đường thẳng. Hai đường trắc đạc bất kì trên một mặt phẳng cắt nhau tại một điểm, nhưng nếu chúng song song thì chúng không bao giờ cắt nhau.

Đường trắc đạc trên mặt cầu thì hướng theo đường tròn lớn. Trên một mặt cầu, hai đường trắc đạc, cho dù chúng có vẻ song song nhau, luôn luôn cắt nhau tại hai điểm.

Trong trường hợp Trái đất của chúng ta, toàn bộ các đường kinh tuyến là đường trắc đạc. Tại xích đạo, tất cả các kinh tuyến trông song song nhau, nhưng chúng đều cắt nhau tại hai cực.

Các đường trắc đạc trên mặt giả cầu tiến đến càng sát nhau càng tốt, nhưng chúng không bao giờ cắt nhau.

37. Cái gì xác định bản chất của đường trắc đạc?

Bản chất của đường trắc đạc trên một mặt phụ thuộc vào độ cong của mặt đó.

Một mặt phẳng có độ cong bằng không.

Một mặt cầu có độ cong dương không đổi tại mỗi điểm trên mặt của nó.

Bề mặt của một quả trứng có độ cong dương nhưng nó biến thiên từ điểm này sang điểm khác.

Một mặt giả cầu có độ cong âm không đổi.

Một mặt giống như mặt yên ngựa có độ cong âm.

38. Có phải một “đường thẳng” phải kéo dài vô hạn ở cả hai phía không?

Các đường song song trong hình học Euclid không cắt nhau và cho dù kéo dài bao xa về mỗi phía thì chúng vẫn luôn luôn cách nhau một khoảng không đổi. Một đường thẳng, do đó, được cho là kéo dài vô hạn ở cả hai phía.

Riemann đề xuất rằng không có nhu cầu logic nào cho một khái niệm như thế và mọi đường thẳng nếu kéo dài đủ mức có thể quay trở lại trên chúng và có cùng chiều dài giống như các đường kinh tuyến trên bề mặt Trái đất.

Trong trường hợp một hình cầu giống như Trái đất, mỗi kinh tuyến giao cắt với kinh tuyến khác ở hai điểm, đó là cực Bắc và cực Nam, nên mỗi cặp “đường thẳng” luôn luôn cắt nhau và khép kín một diện tích, và không có hai “đường thẳng” nào có thể song song nhau.

39. Nhưng làm thế nào một đường thẳng có thể tuân theo hình học Euclid lẫn hình học Riemann?

Giả thiết ngầm của Euclid ngụ ý rằng một đường thẳng có thể kéo dài ra vô hạn. Theo Riemann, một đường thẳng, nếu kéo dài đủ mức, có thể quay trở lại trên chính nó.

Mâu thuẫn rõ ràng mà Riemann nêu ra là sự khác biệt quan trọng giữa vô hạn và khép kín.

Một đường thẳng có thể khép kín và không vô hạn giống như bề mặt của một quả cầu khép kín nhưng không vô hạn. Một đường thẳng không thỏa mãn yêu cầu nhất quán như thế khớp hoàn toàn với hình học Euclid và hình học Riemann.

40. Cái nào là hình học của Trái đất?

Đối với đa số mục đích thông thường, bề mặt của Trái đất hành xử như thể nó là phẳng. Do đó, để xây dựng nhà cửa, cầu đường, sân chơi thể thao, vân vân, khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm là một đường thẳng và tổng số đo ba góc của một tam giác là 180o, và hình học có thể áp dụng là hình học Euclid.

41. Còn khi xét những khoảng cách lớn trên Trái đất thì sao?

Xét một tam giác lớn trên bề mặt của Trái đất được tạo bởi một cung xích đạo và hai đoạn kinh tuyến, tức là hai đường tròn lớn vẽ từ cực Bắc và kết thúc trên cung này. Xem hình bên dưới:

Hai góc đáy mỗi góc bằng 90o nên tổng ba góc của tam giác cộng lại sẽ lớn hơn 180o.

Khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm bất kì không còn là một đường thẳng mà là một đoạn cung kinh tuyến, cho nên hình học Euclid không còn áp dụng được.

Thật vậy, ngay cả khi hai điểm trên bề mặt Trái đất chỉ cách nhau vài trăm mét, thì việc công nhận độ cong của Trái đất sẽ xác định khoảng cách chính xác giữa chúng.

42. Trái đất phẳng bao nhiêu hay cong bao nhiêu?

Một đường thẳng trong một mặt phẳng được nói là thẳng và không có độ cong, còn trong trường hợp đường tròn thì đường tròn càng nhỏ độ cong của nó càng lớn.

Nếu chúng ta lấy một đường tròn bán kính 1 foot là có độ cong đơn vị, thì độ cong của một đường tròn bán kính1 yard sẽ bằng một phần ba đơn vị; và với tỉ lệ này thì độ cong của đường tròn lớn trên bề mặt Trái đất sẽ vào khoảng một phần 21 triệu. Độ cong này là quá nhỏ nên một cung của một đường tròn như vậy trên thực tế không thể phân biệt với một đoạn thẳng.

Vì thế, hình học của Trái đất là hình học Euclid đối với những chiều dài hay khoảng cách nhỏ, và là hình học phi Euclid đối với những khoảng cách lớn.

43. Hình học của không gian mà chúng ta đang sống là hình học nào?

Gauss, “ông hoàng toán học”, đã chọn ba đỉnh núi ở xa nhau tạo nên một tam giác và tìm thấy tổng số đo ba góc của tam giác được tạo ra đó là bằng 180o trong giới hạn của sai số thực nghiệm.

Thí nghiệm tỏ ra không thuyết phục bởi vì tam giác mà ông sử dụng là đủ lớn so với hình vẽ trên giấy, nhưng vẫn quá nhỏ so với kích cỡ của vũ trụ.

Nếu thay cho ba ngọn núi ở xa, chúng ta chọn ba ngôi sao ở xa, thì thí nghiệm vẫn không thuyết phục, mặc dù lần này là vì những lí do hoàn toàn khác.

44. Những lí do này là gì?

Vì trong trường hợp này, phép đo góc sẽ phải theo phương tiện tia sáng, và trong hành trình xuyên không gian của chúng, những tia sáng này bị bẻ cong theo độ lớn của trường hấp dẫn mà chúng đi qua, cho nên kết quả của phép đo sẽ cho chúng ta biết về các định luật truyền ánh sáng nhiều hơn là về bản chất của không gian, dù là Euclid hay không.

45. Không gian có ý nghĩa chính xác là gì?

Một quan điểm có thể là không gian hoàn toàn trống rỗng, một khoảng không không có vết tích của vật chất, nhưng trong một không gian như vậy không có cái gì để phân biệt một vị trí hay một phương hướng, cho nên không có vị trí, không có phương hướng và, vì thế, không gian hoàn toàn trống rỗng chẳng gì hơn là một sự trừu tượng.

46. Quan điểm khác thì sao?

Quan điểm khác cho rằng “không gian là hình thức tồn tại của vật chất”, cho nên tính chất của không gian thật sự là tính chất của những liên hệ nhất định của các vật thể, ví dụ, kích cỡ của chúng, vị trí tương hỗ, vân vân.

Theo quan điểm này, không gian thật sự không thể chia tách với vật chất. Vật chất xác định hình học và hình học giải thích cho hiện tượng trước đây quy cho lực hấp dẫn.

Không những vậy, như Einstein chứng minh, không gian không thể tách rời với thời gian, và chúng cùng nhau tạo nên một hình thức tồn tại của vật chất, đó là không-thời gian.

47. Nếu không gian và thời gian được xem như những thực thể riêng biệt thì sao?

Cấu trúc của không-thời gian là phức tạp và không gian không thể tách rời với thời gian ngoại trừ dưới những giả thiết nhất định, trong trường hợp đó không gian hóa ra là Euclid trong những vùng nhỏ so với kích cỡ vũ trụ, nhưng trong những vùng lớn có chứa khối lượng lớn vật chất, thì sự sai lệch khỏi hình học Euclid trở nên rõ nét.

48. Hình học gần đúng của vũ trụ là hình học nào?

Nhiều giả thuyết đã được đặt ra về cấu trúc của vũ trụ xem như một tổng thể, giả sử sự phân bố khối lượng là đồng đều và vũ trụ không tĩnh tại.

Những giả thuyết này đã làm đơn giản hóa vấn đề và cho phép chúng ta có một khái niệm gần đúng của khuôn khổ thật sự của vạn vật.

Dưới những giả thuyết như vậy, một lí thuyết đã được đề xuất bởi nhà vật lí Liên Xô Friedmann cho thấy hình học của vũ trụ trên tổng thể là hình học Lobachewsky.

49. Hình học nào áp dụng cho các hạt sơ cấp?

Giống như trường hợp hình học Euclid không áp dụng được cho những khoảng cách lớn trong vũ trụ, nó cũng không áp dụng được cho những khoảng cách cực nhỏ.

Hình học phi Euclid có thể áp dụng cho những khoảng cách bên trong và giữa các nguyên tử, phân tử, hạt sơ cấp, vân vân.

50. Chỉ có ba môn hình học thôi sao?

Rõ ràng là có thể có vô số môn hình học, bởi vì bắt đầu với những tiên đề bất kì người ta có thể xây dựng nên một môn hình học mới, miễn sao các tiên đề đó không dẫn tới mâu thuẫn.

Một bề mặt mới có thể được tìm thấy là nơi áp dụng cho lí thuyết hình học mới.

Tuy nhiên, một bề mặt càng phức tạp, thì bộ môn hình học xây dựng thích hợp cho nó cũng thật kì cục.

51. Hình học xạ ảnh là gì?

Xét một người họa sĩ đứng trước quang cảnh mà anh ta muốn vẽ lại. Ta có thể hình dung cái khung vẽ của anh ta là một màn kính trong suốt xen giữa quang cảnh và mắt của anh ta. Hình vẽ trên khung vẽ hóa ra là hình chiếu của quang cảnh trên màn kính với tâm chiếu nằm tại mắt của người họa sĩ.

Vì khung vẽ thật sự thì không trong suốt và quang cảnh mà người họa sĩ muốn vẽ có thể chỉ nằm trong trí tưởng tượng của anh ta, nên người họa sĩ cần một khuôn khổ toán học để cho phép anh ta miêu tả thế giới thực ba chiều trên một khung vẽ hai chiều.

Hình học xạ ảnh cung cấp một khuôn khổ như thế. Nó nghiên cứu tính chất hình học của những hình vẽ vẫn bất biến dưới những phép chiếu như vậy.

52. Đó là những phép chiếu nào?

Ví dụ quen thuộc nhất của một phép chiếu như vậy là cái bóng do một nguồn sáng điểm tạo ra.

Cái bóng của một hình tròn do một nguồn sáng điểm tạo ra không phải lúc nào cũng tròn. Chúng là những hình elip dẹt ít hoặc dẹt nhiều.

Bóng của một hình vuông có thể là hình bình hành, hoặc là một tứ giác nào đó.

Bóng của một tam giác vuông không phải lúc nào cũng là tam giác vuông.

Những viên gạch lát hình vuông dưới sàn nhà thì trong tranh không được vẽ là hình vuông. Nhưng ấn tượng để lại trong mắt người nhìn vẫn giống như những viên gạch thật.

53. Hình chiếu khác với hình gốc ở những chỗ nào?

Trong hình chiếu do một nguồn điểm gây ra, kích cỡ của các góc, các diện tích và các đoạn thẳng bị biến dạng, nhưng có một số tính chất không bị thay đổi sao cho cấu trúc của hình gốc thường có thể được nhận ra trên khung vẽ.

54. Đó là những tính chất nào?

Đó là những tính chất khá đơn giản:

Hình chiếu của một điểm là một điểm và hình chiếu của một đoạn thẳng là một đoạn thẳng, tức là một đoạn thẳng thì sẽ không bị cong. Như vậy, hình chiếu của một tam giác sẽ luôn luôn là một tam giác, và hình chiếu của một tứ giác sẽ luôn vẫn là tứ giác.

Ba tính chất quan trọng được rút ra từ những tính chất đơn giản này:

(i)                  Nếu một điểm nằm trên một đoạn thẳng thì sau phép chiếu điểm tương ứng sẽ nằm trên đoạn thẳng tương ứng. Tính chất này gọi là tính rơi.

(ii)                Nếu ba điểm trở lên cùng nằm trên một đoạn thẳng, thì hình chiếu tương ứng của chúng cũng sẽ nằm trên một đoạn thẳng. Tính chất này gọi là cộng tuyến.

(iii)               Nếu ba đoạn thẳng trở lên cùng cắt qua một điểm, thì hình chiếu của chúng sẽ cắt qua một điểm. Tính chất này gọi là đồng quy.

55. Hình học xạ ảnh được áp dụng ở đâu?

Hình học xạ ảnh có ứng dụng trong lĩnh vực nhiếp ảnh trên không, kiến trúc và trong các bài tập phối cảnh mà các họa sĩ thường nghiên cứu.

56. Hình học xạ ảnh khác với hình học Euclid ở chỗ nào?

Các định lí của hình học Euclid xét độ lớn của các chiều dài, các góc và các diện tích theo các khái niệm liên quan tương đẳng và đồng dạng.

Đây là những tính chất đo đạc. Chúng xử lí các độ lớn và bất biến dưới những chuyển động nào đó.

Hình học xạ ảnh xét các tính chất chiếu hay các tính chất bất biến dưới phép chiếu, tức là tính tính rơi, cộng tuyến và đồng quy.

57. Có cần thiết phân biệt giữa các tính chất chiếu và tính chất đo đạc hay không?

 

Sự phân biệt giữa các tính chất đo đạc và tính chất chiếu của các hình đã được nghiên cứu bởi nhà toán học người Anh Cayley. Ông xét toàn bộ vấn đề trên phương diện đại số và đã thống nhất cả hai.

58. Hình học tọa độ là gì?

Hình học tọa độ là lĩnh vực nghiên cứu hình học bằng phương pháp đại số.

Hình học tọa độ khai thác có hệ thống thực tế là có một sự tương ứng tự nhiên giữa các số thực và các điểm trong không gian.

Lấy một điểm O bất kì nằm trên một đường thẳng. Gọi nó là gốc tọa độ, tức là điểm xuất phát cho mọi phép đo dọc theo đường thẳng đó. Khi ấy, mỗi số thực tương ứng với một điểm trên đường thẳng đó, và ngược lại. Số thực đó được gọi là tọa độ của điểm tương ứng.

Xét hai đường thẳng vuông góc nhau, gọi là hai trục tọa độ, Ox và Oy, cùng đi qua gốc tọa độ O. Khi ấy, vị trí của một điểm P bất kì trong mặt phẳng được xác định bởi khoảng cách x1 đến đường thẳng đứng Oy và khoảng cách y1 đến đường nằm ngang Ox. Cặp số thực theo trật tự (x1,y1) xác định điểm P trong mặt phẳng, và được gọi là tọa độ của nó.

Hình học tọa độ còn được gọi là hình học giải tích hay hình học tọa độ Descartes để tôn vinh người phát minh ra nó, Rene Descartes.

59. Phải chăng hình học tọa độ là một công cụ mạnh hơn hình học bình thường?

Sức mạnh của hình học tọa độ nằm ở thực tế nó nghiên cứu các đối tượng hình học bằng phương pháp đại số.

Khái niệm tọa độ biến những bài toán hình học thành những bài tính toán theo các đại lượng đại số.

Và các phép tính đại số thì dễ làm hơn là các chứng minh hình học liên quan rất nhiều đến trực giác và kinh nghiệm với các hình vẽ và sơ đồ!

Vì thế, hình học tọa độ xứng đáng được tôn vinh là đã “giải phóng hình học khỏi lệ thuộc vào hình vẽ”.

60. Làm thế nào giải phóng hình học khỏi lệ thuộc vào hình vẽ?

Bằng phương pháp tọa độ, các phương trình đại số đơn giản bậc nhất theo hai biến x và y có được ý nghĩa trực quan và chúng biểu diễn cho những đường thẳng sao cho việc nghiên cứu các đối tượng hình học gọi là đường thẳng được thực hiện thông qua việc nghiên cứu những phương trình như thế. Phương pháp này dễ làm hơn và đáng làm hơn!

Phương trình 2x+3y=6, hoặc tương đương là x3+y2=1, thu được bằng cách chia hai vế phương trình cho 6, được biểu diễn trực quan bởi đường thẳng AB.

Tương tự, phương trình khái quát cho đường thẳng có dạng như sau

ax+by+c=0

Các phương trình đại số bậc hai theo hai biến x và y biểu diễn các đường cong trong một mặt phẳng.

61. Đó là những đường cong nào?

Quen thuộc nhất trong những đường cong như thế là đường tròn, đường parabol, đường elip và đường hyperbol. Một biểu diễn hình học của mỗi đường cong cùng với phương trình của nó được cho bên dưới.

 

62. Các đường conic là gì?

Giao tuyến của một hình nón với những mặt phẳng khác nhau được gọi là các đường conic.

Nếu một mặt phẳng cắt qua một hình nón vuông góc với trục của nó thì giao tuyến là một đường tròn.

Nếu mặt phẳng cắt xiên với trục hình nón thì giao tuyến thu được là đường elip.

Nếu mặt phẳng cắt song song với đường sinh của hình nón thì giao tuyến là đường parabol.

Nếu mặt phẳng cắt qua hình nón hai lần thì ta thu được đường hyperbol.

Nếu mặt phẳng cắt qua hình nón hai lần và đồng thời đi qua đỉnh nón, thì ta thu được một cặp đường thẳng xuyên đỉnh.

63. Tính phản xạ của parabol có ý nghĩa gì?

Parabol có một tính chất nổi bật là nếu đặt một nguồn sáng tại tiêu điểm S của nó, thì toàn bộ các tia sáng đi ra từ S, sau khi phản xạ tại parabol, truyền đi song song với trục của nó.

Tính chất này được gọi là tính phản xạ của parabol.

Chính vì tính chất này mà các gương lắp phía sau đèn trước xe hơi được chế tạo có hình paraboloid, tức là hình dạng được tạo ra bằng cách quay parabol xung quanh trục của nó.

Gương parabol giúp người lái xe nhìn thấy xa hơn về phía trước.

64. Tính chất âm học của parabol là gì?

Các tia sáng đi ra từ tiêu điểm bị phản xạ song song với trục của parabol.

Ngược lại, các tia sáng tới song song với trục của parabol sau khi bị phản xạ thì cùng đi qua tiêu điểm.

Vì sóng âm hành xử theo kiểu giống như vậy, nên tính chất âm thanh bị hội tụ tại tiêu điểm được gọi là tính chất âm học của parabol.

Đây là nguyên do ở trong một số phòng trưng bày nghệ thuật, những tiếng thì thầm của ai đó lại được nghe rõ khi bạn đứng ở một chỗ nhất định, còn ở những chỗ khác thì không nghe được.

Chỗ nhất định đó, S, thật ra là tiêu điểm của cấu trúc parabol.

65. Tính chất phản xạ của elip là gì?

Elip có tính chất là các tia sáng đi ra từ một trong hai tiêu điểm, ví dụ như S1, sau khi bị phản xạ tại elip thì đi qua tiêu điểm kia, S2.

Tính chất này được gọi là tính chất phản xạ của elip.

Như vậy, nếu elip được làm từ một dải kim loại sáng bóng, thì các tia sáng đi ra từ tiêu điểm này sẽ đều hội tụ đến tiêu điểm kia.

Một vật đặt tại S2 sẽ được rọi sáng nhờ nguồn sáng đặt tại S1, cho dù S1 và S2 ở khá xa nhau.

66. Tính chất âm học của elip là gì?

Sự phản xạ âm thanh từ tiêu điểm này qua tiêu điểm kia của elip được gọi là tính chất âm học của elip.

Đây là nguyên do vì sao ở một số phòng trưng bày nghệ thuật, người xem đứng tại hai chỗ nhất định có thể nghe được tiếng thì thầm của nhau, cho dù ở giữa họ có rất nhiều người.

67. Động cơ nào thúc đẩy người ta nghiên cứu những đường cong này?

Đó là một chuỗi những sự kiện và khám phá và nhu cầu cấp thiết, khá quan trọng trong số chúng là:

Kepler khám phá rằng các hành tinh chuyển động quanh Mặt trời theo quỹ đạo elip và Galileo khám phá rằng một hòn đá bị ném đi trong không khí vạch ra một quỹ đạo parabol. Tương tự, các viên đạn bay ra từ nòng súng cũng vạch ra các parabol.

Vì thế, có nhu cầu tính toán những elip này cũng như các parabol mô tả quỹ đạo của viên đạn.

68. Còn những nhu cầu nào khác nữa?

Nền thiên văn học lấy Trái đất tĩnh làm trung tâm không còn đúng nữa, và nền cơ học Hi Lạp cổ đại cũng vậy. Những lí thuyết này cần được đánh giá lại và xét lại.

Sự phát triển nhanh của ngành hàng hải làm phát sinh nhu cầu liên hệ các bản đồ hải trình trên địa cầu với bản đồ phẳng.

Những lĩnh vực khoa học tự nhiên khác cũng có những bài toán tương tự chờ được giải và tính toán chính xác.

69. Tại sao tính chất của những đường conic đã không được khai thác khi mà những người Hi Lạp xưa đã biết rõ về chúng?

Tính chất của các đường conic đã được người Hi Lạp xưa biết rõ từ trước Descartes đến 2000 năm, nhưng chúng chỉ cấu thành nên một bộ phận của hình học. Người ta chưa biết có phương pháp nào sử dụng chúng trong những lĩnh vực khác. Công cụ hệ tọa độ đã thay thế các đường cong bằng phương trình, chúng tương đối dễ xử lí hơn. Và kĩ thuật tọa độ đã mở rộng cửa cho một ngôi nhà đầy châu báu trước đó chưa ai dám mơ tới!

70. Kĩ thuật đại số có là đủ để làm việc với các đường cong hay không?

Không, người ta sớm nhận ra rằng những kĩ thuật này không thể xử lí độ dốc và độ cong, chúng là những tính chất cơ bản của đường cong.

71. Độ dốc và độ cong được định nghĩa như thế nào?

Độ dốc là tốc độ mà một đường cong tăng hoặc giảm tính trên đơn vị hoành độ.

Độ cong là tốc độ mà chiều của đường cong biến thiên trên đơn vị chiều dài của đường cong.

Độ dốc của một đường thẳng là không đổi trên toàn chiều dài của nó, và độ cong của nó bằng không.

Độ cong của một đường tròn giữ nguyên không đổi trên toàn chiều dài của nó.

Độ dốc và độ cong biến thiên từ điểm này sang điểm khác đối với những đường cong khác.

72. Độ dốc và độ cong được tính như thế nào?

Giải tích cung cấp phương pháp tính những đại lượng này cho các đường cong khác nhau.

(còn tiếp)

 

*Trong bài viết này có sử dụng tư liệu từ trang 360.thuvienvatly.com

why do women cheat with married men women who cheat reasons why women cheat
website open married cheaters
website why do women cheat on husbands married cheaters
my boyfriend cheated on me with my mom why do women cheat on their husbands what makes husbands cheat
my boyfriend cheated on me quotes women that cheat with married men open
husband cheated on me what to do when husband cheats married affairs sites
women cheat husband how many women cheat reasons wives cheat on husbands
my boyfriend cheated on me with a guy click women affair
women who cheat on husband open women who cheat on husbands
women who cheat on husband developerstalk.com women who cheat on husbands
reasons why wives cheat on their husbands why men cheat how to cheat on husband
why husband cheat on their wife marcandela.com wifes that cheat
kr vijaya sex stories adult stories choose your own adventure sex education story
put in plastic panties stories adult click stories of train sex
forced gay sex stories tolobel.com teen sex stories
women cheat on men tfswhisperer.com women will cheat
adult intimate sex stories astrobix.com sex stories older woman teenboy
how to catch a cheater why married men have affairs why men cheat
women cheat because women that cheat on their husbands meet to cheat
women cheat because women that cheat on their husbands meet to cheat
women cheat because go meet to cheat
naughty adult stories allindiasweetsrestaurant.com naughty adult stories
how to get free coupons walgreens coupon code for photos discount coupons for prescription medications
pharmacy card randolphia.com walgreens photo online coupon
walgreens new prescription coupon photo coupon code walgreens pharmacy discount code
wives cheat wives cheat women cheat
why do wife cheat fangstoptimering.dk will my husband cheat again
wives who cheat my boyfriend cheated on me quotes why wifes cheat
husband cheated fangstoptimering.dk women cheat because
tracking apps android xn--sorpendlerklub-sqb.dk free text spy app for android
tracking apps android spy mobile app free text spy app for android
cvs discount card cvs new prescription coupon free prescription cards
cvs discount card cvs new prescription coupon free prescription cards
when to have an abortion emretas.net vacuum for abortion
abortion clinics orlando dilatation & curettage abortion at 5 weeks
how to spy on a phone blog.bjorback.com how to spy on phones
abortion clinics orlando emretas.net abortion at 5 weeks
cvs coupon machine this week link free prescription drug cards
cvs coupon machine this week link free prescription drug cards
cvs coupon machine this week read free prescription drug cards
free prescription cards ecblog.azurewebsites.net free coupon sites
photo code walgreens walgreens photo coupon codes walgreens prints coupon code
free prescription cards site discount card prescription
percent of women that cheat sde.sdeblog.natchcloud.com how to know if wife has cheated
coupons for cialis carp-fishing.nl free printable cialis coupons
coupons for cialis carp-fishing.nl free printable cialis coupons
coupons for cialis carp-fishing.nl free printable cialis coupons
coupons for cialis carp-fishing.nl free printable cialis coupons
drug discount coupons go coupons viagra
sildenafil citrate 50mg open prednisolone 10mg
xifaxan 400mg albuterol (salbutamol) 2mg rifaximin 400mg
xifaxan 400mg click rifaximin 400mg
rifaximin pill lasix pill propranolol 20mg
prescription card f6finserve.com prescription discount coupon
rx pharmacy card onlineseoanalyzer.com coupons free printable
discount prescription card click coupon for free cialis
discount prescription card mikemaloney.net coupon for free cialis
levitra 40mg thyroxine 25mcg lasix 40mg
levitra 40mg zovirax lasix 40mg
viagra discount coupons click prescription coupons
drug prescription card markthrice.com prescription discounts cards
viagra free sample coupons open prescription discount coupon
free prescription cards discount drug coupons viagra coupon code
viagra coupons printable viagra discount coupons online viagra free coupon
coupons for prescription medications viagra coupons free viagra trial coupon
coupons for prescription medications viagra coupons free viagra trial coupon
can i take carvedilol with low bp can i take carvedilol with low bp can i take carvedilol with low bp
can i take carvedilol with low bp link can i take carvedilol with low bp
can i take nortriptyline every other night canitake.net can i take nortriptyline every other night
can i take nortriptyline every other night canitake.net can i take nortriptyline every other night
can i take antabuse and naltrexone can i take antabuse and naltrexone can i take antabuse and naltrexone
lisinopril and clindamycin lisinopril and clindamycin lisinopril and clindamycin
canada drug pharmacy coupon open canada drug pharmacy coupon
abortion at 12 weeks click abortion side effects
drug coupons go coupons for prescription medications
abortion news website-knowledge.com abortion clinics in memphis tn
doxycycline doxycycline doxycycline
amoxicillin amoxicillin amoxicillin
amoxicillin amoxicillin amoxicillin
progesterone progesterone progesterone
metformin metformin metformin
progesterone progesterone progesterone
progesterone progesterone progesterone
lisinopril lisinopril lisinopril
lisinopril lisinopril lisinopril
gabapentin for neuropathy dosage http://lensbyluca.com/for/neuropathy/dosage gabapentin for neuropathy dosage
cialis.com coupon cialis coupons online discount prescription coupons
generieke viagra apotheek viagra pillen kruidvat viagra rezeptfrei
online viagra bestellen http://viagrapillenkruidvat.com viagra online forum
generic cialis coupons buy generic cialis cialis coupon rite aid
prescription drug discount cards read discount card for prescription drugs
cialis manufacturer coupon 2016 crmsociety.com discount coupon for cialis
cialis manufacturer coupon 2016 crmsociety.com discount coupon for cialis
cialis manufacturer coupon 2016 crmsociety.com discount coupon for cialis
drug coupon card link free prescription discount cards
cialis coupons and discounts eblogin.com free prescription cards discount
cialis manufacturer coupon link lilly cialis coupon
prescription coupons site cialis coupons and discounts
losartan crownlimos.ca losartankalium teva 50 mg
cialis erfahrungen qfrommsi.com cialis 20mg
augmentin et grossesse arbot.cz augmentin et alcool
terrassen come2belgrade.com teratogen
aerius nebenwirkungen blog.martinhey.de aerius heuschnupfen
aerius nebenwirkungen blog.martinhey.de aerius heuschnupfen
reminyl read reminyl 16 mg capsule
viread viread 300 mg viread vidal
cialis open cialis erfahrungen
cialis go cialis erfahrungen
inderal engorda inderal generico inderal similar
inderal engorda inderal inderal similar
naproxen saft open naproxen ratiopharm
imodium plus open imodium dosage for adults
sildenafil smpc sildenafil side effects sildenafil smpc
imodium para que serve go imodium 2mg
imodium para que serve go imodium 2mg
telmisartan generico go telmisartan hidroclorotiazida
amoxicillin and clavulanate boomasontennis.com amoxicillin and clavulanate
viagra naturel go viagra effet
escitalopram pliva escitalopram elicea escitalopram wiki
lilly coupons for cialis click copay cards for prescription drugs
oxcarbazepine 600 mg go oxcarbazepine 600 mg
mildin recept mildin tabletter mildin 20 mg
mildin recept mildin tabletter mildin 20 mg

Tin tức cùng nhóm khác

Tin tuyển sinh

Thông báo tuyển sinh 2015 Ðịa điểm nhận hồ sơ: Phòng Đào tạo Trường Đại học Chu Văn An, khu đô thị đại học Phố Hiến, đường Tô Hiệu, phường Hiến Nam, TP Hưng Yên, Hưng Yên, điện thoại liên hệ (0321).3515592 – 3.515587. Phòng Ðào tạo Trường...

Quảng cáo

Quảng cáo